Wyznacznie CO

[radik90]

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Wyznaczyć CO równania \(\displaystyle{ y'' + y'= 4x - 4sinx}\)

[cosinus90]

Wykonujemy podstawienie:

\(\displaystyle{ z=y' \Leftrightarrow z' = y''}\)

\(\displaystyle{ z' + z = 4x - 4sinx}\)
Najpierw wyznaczamy CO równania liniowego jednorodnego:

\(\displaystyle{ z' + z = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ z = C_{1} e^{x}}\) to raczej oczywiste, więc tłumaczenia pomijam.

Teraz należy wyznaczyć CS równania liniowego niejednorodnego:
\(\displaystyle{ z' + z = 4x + 4sinx}\)

Uczynimy to metodą przewidywań, najpierw dla \(\displaystyle{ z' + z = 4x}\) , a następnie dla \(\displaystyle{ z' + z = 4sinx}\) i zsumujemy rozwiązania.

\(\displaystyle{ z' + z = 4x}\)
\(\displaystyle{ z_{p} = Ax + B \Leftrightarrow z'_{p} = A}\)
\(\displaystyle{ A + Ax + B = 4x}\) , stąd \(\displaystyle{ A = 4, B = -4}\).
Czyli \(\displaystyle{ z = 4x - 4}\)

Teraz druga część:
\(\displaystyle{ z' + z = 4sinx}\)
\(\displaystyle{ z_{p}= Asinx + Bcosx}\)
\(\displaystyle{ z'_{p}= Acosx - Bsinx}\)
\(\displaystyle{ Acosx - Bsinx + Asinx +Bcosx = 4sinx}\), stąd \(\displaystyle{ A=2 , B=-2}\)
Czyli \(\displaystyle{ z = 2sinx - 2cosx}\).
Tak jak wspomniałem wcześniej , sumujemy rozwiązania wraz z CO równania liniowego jednorodnego i otrzymujemy CO równania liniowego jednorodnego:

\(\displaystyle{ z = C_{1} e^{x} + 2sinx - 2cosx + 4x - 4}\)
Wracamy do zmiennej y:
\(\displaystyle{ z = y' \Leftrightarrow y = \int_{}^{} zdx}\)
Scałkuj i otrzymasz ostateczny wynik

[Lucjusz]

\(\displaystyle{ z' + z = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ z = C_{1} e^{x}}\) to raczej oczywiste, więc tłumaczenia pomijam.

Literówka Ci się wkradła, powinien być minus przy x:
\(\displaystyle{ z' + z = 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ z = C_{1} e^{-x}}\)

[cosinus90]

Tak, dokładnie, dzięki za poprawienie.