oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

Vplayer89 · Post autor: **Vplayer89** » 18 cze 2010, o 18:32

\(\displaystyle{ 9x^{2} + 4y^{2}=z}\)
\(\displaystyle{ z=36}\)

A więc bedzie to zapewne paraboloida eliptyczna ograniczona u góry tą płaszczyzną z=36..
no i nie mam pojecia co dalej.. Jak rzucic to na układ osi xy, żeby wyznaczyć dziedzinę?

pozdrawiam.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 18 cze 2010, o 18:37

Przecięciem tych powierzchni będzie elipsa, a rzutem - wnętrze elipsy (wraz z brzegiem) o takich samych osiach i środku jak ta elipsa z przecięcia, tylko położonej w płaszczyźnie \(\displaystyle{ XOY}\). Sugeruję, żeby wykorzystać podstawienie eliptyczne, całka wychodzi wtedy natychmiast.

Pozdrawiam.

Vplayer89 · Post autor: **Vplayer89** » 18 cze 2010, o 19:08

czyli po podstawieniu będe miał równanie postaci \(\displaystyle{ (x^{2} \backslash 4) + (y^{2}\backslash 9) = 1}\) i co z tym dalej zrobic?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 18 cze 2010, o 19:17

\(\displaystyle{ V=\iint_D (36-9x^2-4y^2)dxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ D:\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\le 1}\).

Robisz w całce podstawienie eliptyczne i gotowe.

Pozdrawiam.

Vplayer89 · Post autor: **Vplayer89** » 18 cze 2010, o 20:03

Wiem ze to proste ale czy mógłbyś mi jeszcze napisac jak to podstawic, bo pierwszy raz mam z czyms takim do czynienia i nie jestem pewien.
-taki będzie zakres?:
\(\displaystyle{ -2\le x \le2}\)
\(\displaystyle{ -3\le y \le3}\)
-A ta calka nie bedzie miala przypadkiem takiej postaci?:
\(\displaystyle{ V=\iint_D (9x^2+4y^2-36)dxdy}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 18 cze 2010, o 21:10

Na oba pytania odpowiedź brzmi nie.

Co do pierwszego pytania: podstawienie eliptyczne jest podobne do biegunowego i wygląda w Twoim przypadku tak:

\(\displaystyle{ x=2rcost,\quad y=3rsint,\quad |J|=6r}\)

Wstawiasz do całki i już - podstawiać chyba umiesz?

Co do drugiego - sam sobie na nie odpowiedziałeś w pierwszym swoim poście:

A więc bedzie to zapewne paraboloida eliptyczna ograniczona u góry tą płaszczyzną z=36..

Pozdrawiam.

PS Jestem kobietą!

Vplayer89 · Post autor: **Vplayer89** » 18 cze 2010, o 21:15

ok dzieki wielkie i przepraszam za pmyłkę

paba · Post autor: **paba** » 19 cze 2010, o 15:19

Mógłby ktoś powiedzieć czy odp. w tym zadaniu to V=\(\displaystyle{ 108 \pi}\)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 19 cze 2010, o 15:29

paba pisze:Mógłby ktoś powiedzieć czy odp. w tym zadaniu to V=\(\displaystyle{ 108 \pi}\)?

Tak.

Pozdrawiam.