Całka potrójna.

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 20:42

Oblicz całkę potrójną \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{} z \sqrt{ 4x^{2}+ 4y^{2} }}\) jeżeli obszar V ograniczony jest walcem \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=4x}\) i płaszczyznami z=0 z=2

Wiem że należy skorzystać ze współrzędnych walcowych, otrzymałem następujące granice całkowania:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le4cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le2}\)

Całka którą otrzymałem to; \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} (\int_{0}^{2 \pi }( \int_{0}^{4cos \alpha } (2rz)rdr)d \alpha )dz}\)

Wynik jaki otrzymałem to 0.

Proszę o sprawdzenie mojego wyniku.

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 21:16

masz źle kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), [powinno byc \(\displaystyle{ frac{pi}{2}gealphagefrac{3pi}{2}}\) (narysuj sobie ten obszar to zobaczysz)

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 21:22

Faktycznie bo okrąg jest przesunięty, zapomniałem o tym. Dzięki za pomoc. A możesz mi powiedzieć jaki będzie zakres z jeżeli obszar jest ograniczony stożkiem \(\displaystyle{ z= \sqrt{ 4x^{2}+ 4y^{2} }}\) i płaszczyzną \(\displaystyle{ z=4}\). Czy to będzie \(\displaystyle{ 0<z<4}\) czy może \(\displaystyle{ x^2+y^2<z<4}\) ??

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 21:25

wtedy jest \(\displaystyle{ z=2\sqrt{x^2+y^2}}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 4}\)

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 21:30

Ok podam całe zadanie. Bo nie wiem jak je rozwiązać. Obliczyć całkę potrójną \(\displaystyle{ z \sqrt{ x^{2}+y ^{2} }}\) jeżeli obszar V ograniczony jest stożkiem \(\displaystyle{ z= \sqrt{ 4x^{2}+ 4y^{2} }}\) i płaszczyzna x=4. Wiem że trzeba znowu użyć współrzędnych walcowych, ale nie wiem jak później rozpisać całkę i granice. Proszę o pomoc.

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 21:35

maciek987 pisze:jeżeli obszar V ograniczony jest stożkiem \(\displaystyle{ z= \sqrt{ 4x^{2}+ 4y^{2} }}\) i płaszczyzna x=4

taki obszar nie jest ograniczony, nie chodzi o \(\displaystyle{ z=4}\)?

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 21:42

faktycznie z=4

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 21:50

to w takim razie \(\displaystyle{ z}\) tak jak mowilem, ponadto \(\displaystyle{ 0\le\alpha\le2\pi}\) i \(\displaystyle{ 0\le r\le \frac{z}{2}}\)

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 21:53

\(\displaystyle{ \frac{z}{2}}\) tzn \(\displaystyle{ \frac{4}{2}}\) czyli 2 ??

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 21:55

nie bo \(\displaystyle{ r}\) jest zmienne w zaleznosci od \(\displaystyle{ z}\), np dla \(\displaystyle{ z=0}\) masz \(\displaystyle{ 0\le r\le 0}\) a dla \(\displaystyle{ z=4}\) masz \(\displaystyle{ 0\le r\le 2}\)

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 18 cze 2010, o 21:57

A możesz mi napisać jak to wyznaczyłeś ??

Post autor: **Chromosom** » 18 cze 2010, o 22:02

najlepiej posluzyc sie rysunkiem
\(\displaystyle{ z=2\sqrt{x^2+y^2}\\ \begin{cases}x=r\cos\alpha\\ y=r\sin\alpha\end{cases}\\ z=2\sqrt{r^2}\\ 0\le r\le\frac{z}{2}}\)

maciek987 · Post autor: **maciek987** » 19 cze 2010, o 12:10

Ale przy takim założeniu dla z. Otrzymuję dziwne granice całkowania. \(\displaystyle{ \int_{2 \sqrt{ x^{2}+ y^{2} } }^{4} (\int_{0}^{2 \pi } ( \int_{0}^{ \frac{z}{2}}(zr)dr)d \alpha )dz}\)

Ostatnia całka jaką otrzymuję to \(\displaystyle{ \int_{2 \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }^{4} \frac{ \pi }{4} z^{3}dz}\) i nie wiem jak to teraz podstawić z tą dolną granicą.

Post autor: **Chromosom** » 19 cze 2010, o 15:38

przepraszam, pomieszalem. zalezy od kolejnosci calkowania - granice \(\displaystyle{ 0\le r\le\frac{z}{2}}\) masz wtedy gdy calkujesz najpierw po \(\displaystyle{ r}\), a potem po \(\displaystyle{ z}\), wtedy \(\displaystyle{ 0\le z\le4}\), ale prosciej jest na odwrot. Wtedy \(\displaystyle{ 2r\le z\le4}\) i \(\displaystyle{ 0\le r\le2}\) - czyli tak jak mowiles. ostatecznie \(\displaystyle{ I=\int\limits^{\alpha=2\pi}_{\alpha=0}\int\limits^{r=2}_{r=0}\int\limits^{z=4}_{z=2r}f(z,r,\alpha)\mbox{d}z\mbox{d}r\mbox{d}\alpha}\)