Funkcja różniczkowalna i rosnąca -> pochodna nieujemna

[chlorofil]

Witam,

Ogólnie znane są dowody twierdzenia, że jeśli funkcja jednej zmiennej posiada pochodną na pewnym przedziale otwartym i pochodna ta jest dodatnia, to funkcja jest rosnąca.

Jak natomiast udowodnić następujące:

\(\displaystyle{ f(x)}\) jest różniczkowalna i rosnąca w \(\displaystyle{ (a, b) \Rightarrow \bigwedge\limits_{x\in (a, b)} f'(x) \ge 0}\)

?

[k_law]

Weźmy \(\displaystyle{ x \in (a,b)}\).
\(\displaystyle{ \Delta x >0}\) będzie przyrostem x.
Wtedy z tego że jest rosnąca mamy że \(\displaystyle{ f(x+ \Delta x ) \ge f(x)}\).
Funkcja f jest różniczkowalna
\(\displaystyle{ \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ f(x+ \Delta x ) - f(x)}{\Delta x}}\)
(mamy licznik \(\displaystyle{ \ge 0}\) i mianownik \(\displaystyle{ >0}\))
Przechodząc do granicy dostajemy, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\)


Mam nadzieję, że jest ok, nie wydaje mi się że trzeba jakoś inaczej to zrobić, ale mogę się mylić.

[chlorofil]

Z tym, że mianownik jest dodatni się nie zgodzę... na jakiej podstawie tak wnioskujesz?

[k_law]

Przecież na samym początku \(\displaystyle{ \Delta x >0}\) jako przyrost funkcji.
Sprawdziłem w Fichtenholzu, pokazane jest nieomal identycznie jak to co napisałem powyżej.

[chlorofil]

OK, przepraszam. Zrobiłem ostatnio kilka błędów w dowodach z użyciem przejść granicznych, właśnie ze względu na znak i "przesadnie" próbowałem tutaj obalić dobry dowód. Przy Twoim założeniu dowód jest poprawny. Dzięki.