2 zadania z IM

[bybek5]

Proszę dobrą duszyczkę o wyliczenie tych 2 przykładów Z góry dzięki.

\(\displaystyle{ n\in N}\)

a)

\(\displaystyle{ 5 ^{n+1} + 2 \cdot 3 ^{n} + 1}\) podzielne przez 8

b)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \le 2 \sqrt{n} - 1}\)

[Mistrz]

a)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) zgadza się: \(\displaystyle{ 25+6+1=32=8\cdot 4}\)

Dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) udowodnimy, że jeżeli \(\displaystyle{ 5^{n+1}+2\cdot 3^{n} +1 \equiv 0 \ (\hbox{mod } 8)}\) to również \(\displaystyle{ 5^{n+2}+2\cdot 3^{n+1} +1 \equiv 0}\)

Faktycznie, zachodzi wówczas kongruencja \(\displaystyle{ 5^{n+1}\equiv -2\cdot 3^{n} -1}\)
a zatem
\(\displaystyle{ 5^{n+2}+2\cdot 3^{n+1} +1=5^{n+1}\cdot 5+2\cdot 3^{n+1} +1 \equiv 5(-2\cdot 3^{n} -1 ) +6\cdot 3^{n} +1 = (-10+6)\cdot 3^n -5+1 = -4(3^n+1) \equiv 0}\)

(\(\displaystyle{ -4(3^n+1)\equiv 0 \ (\hbox{mod } 8)}\) ponieważ liczba \(\displaystyle{ 3^n+1}\) jest parzysta.)

[bybek5]

Za a) dzięki. A ktoś się pokusi o b) ?-- 16 czerwca 2010, 17:02 --Odnośnie podpunktu b)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{ \sqrt{k} } \le 2 \sqrt{n} - 1}\)

Zrobiłem coś takiego, ale jestem w .

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{ \sqrt{k} } \le 2 \sqrt{n+1} - 1}\)


\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n} - 1 + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } = 2 \sqrt{n} + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } - 1 = \frac{2 \sqrt{n}\sqrt{n+1} + 1}{ \sqrt{n+1} } - 1 =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{2 \sqrt{n ^{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) } + 1}{ \sqrt{n+1} } -1 = \frac{2n + 1}{ \sqrt{n+1} } -1 = \frac{2 \sqrt{n ^{2} + n } + 1}{ \sqrt{n+1} } -1 = \frac{2n + 1}{ \sqrt{n+1} } -1}\) ...

[sushi]

z lewej strony masz

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n}- 1 + \frac{1}{ \sqrt{n+1} } = \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n+1}+1 }{ \sqrt{n+1} } -1 \le 2 \sqrt{n+1}-1}\)

wiec zajmiemy sie

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} +1 }{ \sqrt{n+1} } \le 2 \sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} +1 \le 2 \sqrt{n+1} \sqrt{n+1}}\)

dzielimy przez 2 i podnosimy obustronnie do kwadratu

\(\displaystyle{ n^2 +n + \frac{1}{4} + \sqrt{n(n+1)} \le n^2 +2n+1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)} \le n+ \frac{3}{4}}\)

znowu do kwadratu

\(\displaystyle{ n^2 +n \le n^2 + \frac{3}{2}n + \frac{9}{16}}\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{16} \le \frac{1}{2}n}\)

[bybek5]

a po podzieleniu przez 2 i podniesieniu do kwadratu nie powinno być tak:

le n^2 +2n+1[/latex]

\(\displaystyle{ n^2 +n + \frac{1}{4} } \le n^2 +2n+1}\)

skąd u ciebie jeszcze:
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\)

A tak w ogóle czy tak można zrobić? Że tą -1 opuszczamy i robimy takie "cuda"? Na jakiej zasadzie ty robisz takie przekształcenia? Nie powinniśmy dojść do wyniku: \(\displaystyle{ 2\sqrt{n+1} - 1}\) ?

[sushi]

\(\displaystyle{ n^2 +n + \frac{1}{4} } \le n^2 +2n+1}\)

ja takich glupot nie napisalem a mnie cytujesz

\(\displaystyle{ (a+b)^2= a^2 +b^2 + 2ab}\)-- 17 czerwca 2010, 19:26 --\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n+1}+1 }{ \sqrt{n+1} } -1 \le 2 \sqrt{n+1}-1}\)

masz to pokazac!!!!!!!!!!!! to "-1" mozemy sobie darowac

wiec zajmiemy sie

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} +1 }{ \sqrt{n+1} } \le 2 \sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} +1 \le 2 \sqrt{n+1} \sqrt{n+1}}\)

dzielimy przez 2 i podnosimy obustronnie do kwadratu

\(\displaystyle{ \sqrt{n} \sqrt{n+1} + \frac{1}{2} \le \sqrt{n+1} \sqrt{n+1}}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{n} \sqrt{n+1})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 2 \sqrt{n(n+1)} \cdot \frac{1}{2} \le n^2 +2n+1}\)

to ile wyjdzie

[bybek5]

Z tym cytatem, to tak nie miał wyjść.
A z podnoszeniem do kwadratu już rozumiem. Tylko zastanawia mnie dlaczego to jest tak rozwiązane. Bo liczyłem kiedyś podobny przykład na zajęciach i tam tak przekształcaliśmy wyrażenie, że na końcu wychodzi to co jest po prawej strony, czyli w tym przypadku:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{n+1} - 1}\)

A jak próbowałem do tego dojść, to coś mi nie wychodzi.

[sushi]

indukcyjnie robisz i masz pokazac pierwsza linijke, aby do niej dojsc to mozesz sobie zapisac nierownosc od dolu mojego postu i dojsc na samą gore i miec to co chciales