homomorfizm macierzy

[misiekprezes]

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą nieosobliwych macierzy stopnia 2 o elementach wymiernych

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
a,b,c,d liczby wymierne
\(\displaystyle{ ad-bc \neq 0}\)
z mnożeniem. Wiadomo że zbiór \(\displaystyle{ Q_0}\) liczb wymiernych różnych od zera jest grupą ze względu na mnożenie. Pokaż, że odwzorowanie
\(\displaystyle{ f: G \rightarrow Q_0}\)
które macierzy A przyporządkowuje jej wyznacznik, jest homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G}\) w grupę \(\displaystyle{ Q_0}\)

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ A B\in G}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right], B= \left[\begin{array}{ccc}e&f\\g&h\end{array}\right]}\)
dla pewnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f,g,h}\) takich, że \(\displaystyle{ ad-bc \ne 0}\) oraz \(\displaystyle{ eh-fg\ne 0}\).
W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ AB= \left[\begin{array}{ccc}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dg\end{array}\right]}\), więc
\(\displaystyle{ f(AB)=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dh)=adeh+bcfg-adfg-bceh=ad(eh-fg)-bc(eh-fg)=(ad-bc)(eh-fg)=f(A)f(B)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ f(AB)\ne 0}\), gdyż z założenia \(\displaystyle{ f(A)\ne 0, f(B)\ne 0}\).
To daje, że \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ Q_0}\).

[misiekprezes]

a mam jeszcze jedno pytanie do tego zadania:
jaki jest wymiar jądra tego homomorfizmu? i czy stąd wynika że to jest izomorfizm?