ekstrema funkcji na zbiorze

baca4b · Post autor: **baca4b** » 13 cze 2010, o 16:26

mam za zadanie wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ z=x ^{2}+2y ^{2} -2x+8y}\) w zbiorze \(\displaystyle{ D={(x,y);x ^{2}+2y ^{2} \le 20}\)
bardzo proszę o pomoc,mam problemy z wyznaczaniem ekstremum w przedziale, jeśli mógł by mi ktoś to rozjaśnić byłbym wdzięczny:)

thralll · Post autor: **thralll** » 13 cze 2010, o 16:42

To chyba powinno pomóc:
https://www.matematyka.pl/42663.htm

baca4b · Post autor: **baca4b** » 13 cze 2010, o 16:53

tak jest tam dobrze wytłumaczone, odwiedzałem już tą stronę tylko chodzi mi o wyznaczanie na tym przedziale,bo jak wyliczam punkty podejrzane z I pochodnej cząstkowej po x i po y to wychodzi mi jeden punkt (1,-2) należy on do przedziału ale nie ma tam ekstremum.Mam problem ze znalezieniem pozostałych punktów podejrzanych w podanym zbiorze.

thralll · Post autor: **thralll** » 16 cze 2010, o 20:46

Sorry, że dopiero teraz, ale ostatnio nie mam czasu.
Nie rozumiem dlaczego według Ciebie wyliczony punkt nie jest ekstremum, według mnie jest:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right) \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\right)-\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\right)^{2}>0 \\ 4 \cdot 2 - 0^2>0}\)

baca4b · Post autor: **baca4b** » 16 cze 2010, o 22:22

no tak masz racje pomylilem sie w obliczeniach,ale chodzi mi bardziej o to jak wyszukac punkty podejrzane na obrzezach tego zbioru??

thralll · Post autor: **thralll** » 16 cze 2010, o 23:36

Chyba nie ma takiej możliwości. Tak jak w pochodnej funkcji liniowej znajdujemy tylko punkty charakterystyczne.
Myślę, że można było by to ewentualnie policzyć w ten sposób, że wyciągnąć jedną z zmiennych z funkcji opisującej obszar (ponieważ szukamy na granicy możemy zamienić nierówność na równość). Dwa otrzymane rozwiązania podstawić do funkcji i wtedy policzyć pochodne i poszukać ekstremów na obrzeżu przyrównując ją do zera. Rachunki będą dość skomplikowane. To jedyny sposób jaki przychodzi mi w tej chwili do głowy. Nigdy przedtem się nad tym nie zastanawiałem i nikt ode mnie tego nie wymagał, więc możliwe, że istnieje jakiś szybszy i prostszy sposób.

baca4b · Post autor: **baca4b** » 17 cze 2010, o 12:26

masz racje tak to trzeba zrobic, naszczescie udalo mi sie znalesc taki sposob na necie i dzis na egzaminie wlasnie mialem podobne zadanie:)
dzieki wielkie za pomoc w zadaniach:)
pozdrawiam