Całka krzywoliniowa.

[Patryk F.]

Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną po łuku AB krzywej K.

\(\displaystyle{ \int_{K^+} ydx + x^2 dy}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}1) K^+ jest \ odcinkiem AB; A(0, 1), B(1,0)\\2)K^+ jest okręgiem x=Rcost \ y=Rsint \ i \ \leqslant t\leqslant \frac{\pi}{2}\\3) K^+ \ jest \ parabolą \ y=4+x^2 \ i \ 0\leqslant x\leqslant 2 \end{array}}\)

Rozwiązałem punkt 1 i 3 Proszę o sprawdzenie. Drugiego nie jestem w stanie i tu prosze o pomoc.

\(\displaystyle{ Ad \ 1}\)

\(\displaystyle{ dx = dy}\)
\(\displaystyle{ y=-x+1}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(x^2-x+1) = \begin{bmatrix} \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 1\end{bmatrix}_{0}^{1}}\)

\(\displaystyle{ Ad \ 2}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}(4+2x^2)dx = \begin{bmatrix} \frac{2x^3}{3} + 4x{\end{bmatrix}_{0}^{2} = 13\frac{1}{3}}\)

[BettyBoo]

To działa prawie tak, jak zwykłe podstawienie w całce oznaczonej

1) Skoro \(\displaystyle{ y=-x+1}\) to wtedy \(\displaystyle{ dy=-dx}\).

3) \(\displaystyle{ y=4+x^2\ \Rightarrow \ dy=?}\)

2) \(\displaystyle{ x=R\cos t\ \Rightarrow dx=?\qquad y=R\sin t\ \Rightarrow dy=?}\)

Pozdrawiam.

[Patryk F.]

W takim razie ->
Ad2.

\(\displaystyle{ dy=2xdx}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} (2x^3 + x^2 + 4x) = \begin{bmatrix} \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} + 4x\end{bmatrix}_{0}^{2} = 32 + \frac{8}{3} + 8 = 42\frac{2}{3}}\)

Ad3.
\(\displaystyle{ dy=Rcost dt}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^2 sin^2 t + R^3 cos^3 tdt \ ?}\)

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} (2x^3 + x^2 + 4)dx}\) <---- źle zapisałeś tutaj, ale dobrze liczyłeś

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-R^2 sin^2 t + R^3 cos^3t) dt}\) <--- znak

Pozdrawiam.

[Patryk F.]

Ok dzięki. Zawsze zapominam dopisać \(\displaystyle{ dx}\) na końcu:)