trzy liczby pierwsze
trzy liczby pierwsze
Suma 3 liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od ich iloczyny. Wyznacz te liczby pierwsze
doszedłem do tego ze jedną z nich jest liczba 11 ale co dalej to nie wiem proszę o fast pomoc
doszedłem do tego ze jedną z nich jest liczba 11 ale co dalej to nie wiem proszę o fast pomoc
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
trzy liczby pierwsze
\(\displaystyle{ 11(a+b+c)=abc}\)
z tego mamy, że jedna z nich =11 bez straty ogólności niech to będzie a.
Wtedy \(\displaystyle{ 11+b+c=bc \Leftrightarrow bc-b-c+1=12 \Leftrightarrow (b-1)(c-1)=12}\) dalej sam już pewnie dokończysz.
z tego mamy, że jedna z nich =11 bez straty ogólności niech to będzie a.
Wtedy \(\displaystyle{ 11+b+c=bc \Leftrightarrow bc-b-c+1=12 \Leftrightarrow (b-1)(c-1)=12}\) dalej sam już pewnie dokończysz.
trzy liczby pierwsze
tak to jest dobre rozwiązanie lecz nauczyciel pow mi ze jest jeszcze jedno bardziej skomplikowane. po zauważeniu tego ze jedną z nich jest 11 trzeba skorzystać z twierdzenia ale jakiego tego juz mi nie pow. Ciekawi mnie to więc jeśli możecie to proszę o podpowiedź.
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
trzy liczby pierwsze
\(\displaystyle{ a + b + c = \frac{abc}{11}}\)
Zatem jedną z liczb jest \(\displaystyle{ 11}\), bo inaczej \(\displaystyle{ abc}\) byłoby złożone. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=11}\) (nie tracimy na ogólności oczywiście):
\(\displaystyle{ a + b + 11 = ab\\
a + b - ab = -11\\
(a - 1)(1-b) +1 = -11\\
(a-1)(1-b) = -12}\)
Ponieważ liczby są pierwsze, czyli są całkowite, to wypisujemy wszystkie liczby, których iloczyn daje \(\displaystyle{ -12}\)
Zatem jedną z liczb jest \(\displaystyle{ 11}\), bo inaczej \(\displaystyle{ abc}\) byłoby złożone. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=11}\) (nie tracimy na ogólności oczywiście):
\(\displaystyle{ a + b + 11 = ab\\
a + b - ab = -11\\
(a - 1)(1-b) +1 = -11\\
(a-1)(1-b) = -12}\)
Ponieważ liczby są pierwsze, czyli są całkowite, to wypisujemy wszystkie liczby, których iloczyn daje \(\displaystyle{ -12}\)
trzy liczby pierwsze
no właśnie on sie niczym nie rózni a ja chce się dzowiedzięc z jakiego twierdzenia tu skorzystac zeby nam doszło do wyniku. To nie jest najleprze rozwiązanie gdy by tam nie było 12 tylko 10000000 wtedy jest problem prawda??
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
trzy liczby pierwsze
Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
trzy liczby pierwsze
Afish pisze:Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.
To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
trzy liczby pierwsze
Nie widzę problemu.smigol pisze: To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.
Ostatnio zmieniony 16 cze 2010, o 19:53 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
trzy liczby pierwsze
Sorry, 9999.
Wtedy rozbijasz 10000 na czynniki pierwsze.
Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?
Wtedy rozbijasz 10000 na czynniki pierwsze.
Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
trzy liczby pierwsze
Owszem, to zajmie dużo czasu. Ale jak chcesz to rozwiązać szybciej?smigol pisze: Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?