trzy liczby pierwsze

kebo · Post autor: **kebo** » 10 cze 2010, o 21:36

Suma 3 liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od ich iloczyny. Wyznacz te liczby pierwsze

doszedłem do tego ze jedną z nich jest liczba 11 ale co dalej to nie wiem proszę o fast pomoc

smigol · Post autor: **smigol** » 10 cze 2010, o 21:49

\(\displaystyle{ 11(a+b+c)=abc}\)
z tego mamy, że jedna z nich =11 bez straty ogólności niech to będzie a.
Wtedy \(\displaystyle{ 11+b+c=bc \Leftrightarrow bc-b-c+1=12 \Leftrightarrow (b-1)(c-1)=12}\) dalej sam już pewnie dokończysz.

kebo · Post autor: **kebo** » 10 cze 2010, o 22:03

no i dalej to tylko przez podstawianie czy nie??

smigol · Post autor: **smigol** » 11 cze 2010, o 15:52

Dalej to:
\(\displaystyle{ 12=1 \cdot 12= \cdot 3 \cdot 4=4 \cdot 3=2 \cdot 6=..................}\)

kebo · Post autor: **kebo** » 12 cze 2010, o 14:46

tak to jest dobre rozwiązanie lecz nauczyciel pow mi ze jest jeszcze jedno bardziej skomplikowane. po zauważeniu tego ze jedną z nich jest 11 trzeba skorzystać z twierdzenia ale jakiego tego juz mi nie pow. Ciekawi mnie to więc jeśli możecie to proszę o podpowiedź.

Post autor: **Afish** » 12 cze 2010, o 16:07

\(\displaystyle{ a + b + c = \frac{abc}{11}}\)
Zatem jedną z liczb jest \(\displaystyle{ 11}\), bo inaczej \(\displaystyle{ abc}\) byłoby złożone. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=11}\) (nie tracimy na ogólności oczywiście):
\(\displaystyle{ a + b + 11 = ab\\
a + b - ab = -11\\
(a - 1)(1-b) +1 = -11\\
(a-1)(1-b) = -12}\)
Ponieważ liczby są pierwsze, czyli są całkowite, to wypisujemy wszystkie liczby, których iloczyn daje \(\displaystyle{ -12}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 12 cze 2010, o 16:22

I czym ten sposób różni się od mojego?

Post autor: **Afish** » 12 cze 2010, o 16:31

A ktoś stwierdził, że się różni?

kebo · Post autor: **kebo** » 16 cze 2010, o 19:18

no właśnie on sie niczym nie rózni a ja chce się dzowiedzięc z jakiego twierdzenia tu skorzystac zeby nam doszło do wyniku. To nie jest najleprze rozwiązanie gdy by tam nie było 12 tylko 10000000 wtedy jest problem prawda??

Post autor: **Afish** » 16 cze 2010, o 19:22

Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

smigol · Post autor: **smigol** » 16 cze 2010, o 19:41

Afish pisze:Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.

Post autor: **Afish** » 16 cze 2010, o 19:47

smigol pisze: To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.

Nie widzę problemu.

smigol · Post autor: **smigol** » 16 cze 2010, o 19:51

Sorry, 9999.
Wtedy rozbijasz 10000 na czynniki pierwsze.
Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?

Post autor: **Afish** » 16 cze 2010, o 19:54

smigol pisze: Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?

Owszem, to zajmie dużo czasu. Ale jak chcesz to rozwiązać szybciej?

smigol · Post autor: **smigol** » 16 cze 2010, o 20:12

Ja takiej nie znam, ale podobno nauczyciel (wykładowca/ćwiczeniowiec?) kebo, ma jakąś szybszą metodę.