\(\displaystyle{ (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2}\)
\(\displaystyle{ y''+y'=4x^3+24}\)
z góry dziękuję za pomoc
dwa równania
-
gerberox
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 15 cze 2010, o 10:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 1 raz
dwa równania
to moje pierwsze spotkanie z tego typu równaniami, nie wiem jak do tego podejść kiedy mam y' i y'' w równaniach
\(\displaystyle{ (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2}\)
\(\displaystyle{ y''+y'=4x^3+24}\)
z góry dziękuję za pomoc
\(\displaystyle{ (1+x^2)y'-2xy=(1+x^2)^2}\)
\(\displaystyle{ y''+y'=4x^3+24}\)
z góry dziękuję za pomoc
-
pipol
dwa równania
1) Łatwo widać, że funkcja \(\displaystyle{ y(x)=x^3 +x}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ (1+x^2)y' -2xy=(1+x^2)^2 .}\)
Wystarczy więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)y' -2xy=0}\) co prowadzi do równania \(\displaystyle{ \frac{dy}{y} =\frac{2xdx}{1+x^2}}\) skąd po scałkowaniu dostajemy \(\displaystyle{ y(x;C)=C(1+x^2 ).}\)
Ostatecznie rozwiązaniem ogólnym wyjsciowego równania jest rodzina \(\displaystyle{ y(x;C)=x^3 +Cx^2 +x +C}\) gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}.}\)
Wystarczy więc rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (1+x^2)y' -2xy=0}\) co prowadzi do równania \(\displaystyle{ \frac{dy}{y} =\frac{2xdx}{1+x^2}}\) skąd po scałkowaniu dostajemy \(\displaystyle{ y(x;C)=C(1+x^2 ).}\)
Ostatecznie rozwiązaniem ogólnym wyjsciowego równania jest rodzina \(\displaystyle{ y(x;C)=x^3 +Cx^2 +x +C}\) gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}.}\)