równanie różniczkowe liniowe II rzędu niejednorodne

[ziomalekk]

jeżeli Ktoś ma chwilkę czasu i umiejętności, to bardzo prosiłabym o rozwiązanie (cały schemat) następujących równań różniczkowych II rzędu o stałych współczynnikach niejednorodne:

\(\displaystyle{ y ^{''} +2y ^{'} +y=3x


y ^{''} -6y ^{'} +9y=4e ^{x}}\)

[meninio]

1) Całka równania pierwszego to suma całki ogólnej (równanie jednorodne) i całki szczególnej (równanie niejednorodne) tego równania:

\(\displaystyle{ y=y_0+y_1}\)

RJ:

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: \(\displaystyle{ y''+2y'+y=0}\)

Podstawienie: \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\)

\(\displaystyle{ r^2e^{rx}+2re^{rx}+e^{rx}=0 \\ \\
r^2+2r+1=0 (r+1)^2=0 r=-1}\)

W związku z tym, że istnieje jeden pierwiastek podwójny to całka ogólna równania \(\displaystyle{ R_j}\) ma postać:

\(\displaystyle{ y_0=(C_1x+C_2)e^{-x}}\)

RNJ:

W związku z tym, że po prawej stronie równania niejednorodnego jest wielomian pierwszego stopnia całkę szczególną przewidujemy jako funkcję liniową postaci:

\(\displaystyle{ y_1=ax+b}\)

Z tego mamy: \(\displaystyle{ y'_1=a y''_1=0}\)

Wstawiamy dó równania wejściowego i mamy:

\(\displaystyle{ 2a+ax+b \equiv 3x \\ \\ x(2a+1)+b \equiv 3x \\ \\ a=1 b=0}\)

Czyli: \(\displaystyle{ y_1=x}\)


Czyli całka naszego równania wygląda tak: \(\displaystyle{ y=(C_1x+C_2)e^{-x}+x}\)

2) Podobnie, ale już bez wnikania w szczegóły;

RJ: \(\displaystyle{ r=3 y_0=(C_1x+C_2)e^{3x}}\)
RNJ: przewidujemy w postaci:

\(\displaystyle{ y_1=ae^x y'_1=ae^x y''_1=ae^x}\)

Wstawiamy do równania i mamy:

\(\displaystyle{ ae^x-6ae^x+9ae^x=4e^x a=1}\)

Czyli ostateczne rozwiązanie: \(\displaystyle{ y=y_0+y_1=(C_1x+C_2)e^{3x}+e^x}\)

[ziomalekk]

ślicznie dziękuję za (przepraszam za wyrażenie) uratowanie 4 liter i pozdrawiam

[ss900]

Z tego mamy: \(\displaystyle{ y'_1=a \wedge y''_1=0}\)

a skąd to się wzieło?

[meninio]

To są odpowiednio pierwsza i druga pochodna przewidywanej funkcji.

[pongo19]

1) Całka równania pierwszego to suma całki ogólnej (równanie jednorodne) i całki szczególnej (równanie niejednorodne) tego równania:


\(\displaystyle{ 2a+ax+b \equiv 3x \\ \\ x(a)+(2a+b) \equiv 3x \\ \\ a = 3 \wedge b=-6}\)

Czyli całka naszego równania wygląda tak: \(\displaystyle{ y=(C_1x+C_2)e^{-x}+x}\)

\(\displaystyle{ 2a+ax+b \equiv 3x \\ \\ x(a)+(2a+b) \equiv 3x \\ \\ a = 3 \wedge b=-6}\)
i'
Czyli całka naszego równania wygląda tak: \(\displaystyle{ y=(C_1x+C_2)e^{-x}+3x-6}\)

Chyba tak powinno być

[meninio]

Tak, masz rację.