Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu [3]

[klaudys09]

Zbadać zbieżność szeregów:

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{ \pi }{n} \right) ^{n} \cdot n!}\)

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n ^{2} }{ \left(n+1 \right) ^{2} \cdot 2 ^{n} }}\)

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu :

* \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( -1\right) ^{n+1} \frac{n}{n+1}}\)

[kolorowe skarpetki]

Zadanie 2

\(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2\cdot 2^n}}\)

WK zbieżności szeregu :
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2\cdot 2^n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=}\)
\(\displaystyle{ =1 \cdot 0=0 \, \,}\) OK

\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+2)^2 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{2^n(n+1)^2}{n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2 \cdot (n+1)^2}{2n^2(n+2)^2}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})^2 \cdot (1+\frac{1}{n})^2}{2(1+\frac{2}{n})^2}=\frac{1}{2} \, < \, 1}\)

Na mocy kryterium d'Alemberta szereg jest zbieżny.

Zadanie 3

\(\displaystyle{ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+1}}\)

Zauważmy, że : \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0 \, \Longleftrightarrow \, \lim_{n \rightarrow \infty} \vert a_n \vert =0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \vert a_n \vert = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1 \neq 0}\)

Warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony, szereg jest rozbieżny.