Oblicz granicę ciągu
- mikrobart
- Użytkownik
- Posty: 436
- Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 38 razy
Oblicz granicę ciągu
Proszę krok po kroku
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[3]{ \frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8} }}\)
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}}\)
c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}}\)
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[3]{ \frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8} }}\)
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}}\)
c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}}\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2010, o 15:33 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Oblicz granicę ciągu
a) Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(27+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(-8+\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2})}=-\frac{27}{8}}\).
Stąd wobec ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sqrt[3]{x}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}=\lim_n\to\infty}(\frac{n^2}{1-n^2}+\frac{2n\cos n\frac{\pi}{2}}{1-n^2})=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{1-n^2}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2(\frac{1}{n^2}-1)}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=-1+0=-1}\),
gdyż ciąg \(\displaystyle{ (\cos n\frac{\pi}{2})_{n\in\mathbb{N}}}\) jest ograniczony, a \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}=0}\).
c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 2^n+2\cdot 3^n+3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{2^n+3^n}{3^n}}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{2}{3})^n+1}=2+\frac{1}{0+1}=2+1=3}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(27+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(-8+\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2})}=-\frac{27}{8}}\).
Stąd wobec ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sqrt[3]{x}}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{27n^2+n+1}{-8n^2+4n+8}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2ncosn \frac{ \pi }{2} }{1-n^2}=\lim_n\to\infty}(\frac{n^2}{1-n^2}+\frac{2n\cos n\frac{\pi}{2}}{1-n^2})=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{1-n^2}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2(\frac{1}{n^2}-1)}+\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}\cos n\frac{\pi}{2}=-1+0=-1}\),
gdyż ciąg \(\displaystyle{ (\cos n\frac{\pi}{2})_{n\in\mathbb{N}}}\) jest ograniczony, a \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{1-n^2}=0}\).
c)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 2^n+2\cdot 3^n+3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2^n+3^n}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{2^n+3^n}{3^n}}=2+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{2}{3})^n+1}=2+\frac{1}{0+1}=2+1=3}\)
- mikrobart
- Użytkownik
- Posty: 436
- Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 38 razy
Oblicz granicę ciągu
lukasz1804, a taki przykład:
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}}\)
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}}\)
Ostatnio zmieniony 14 cze 2010, o 16:22 przez mikrobart, łącznie zmieniany 1 raz.
Oblicz granicę ciągu
Zrob to samo co w c najpierw. Majac granice z minusuem pod potega mozesz od razu stwierdzic ile ta granica jest rowna. Analogiczny przyklad wiec nie wiem w czym problem
-
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
Oblicz granicę ciągu
Zaczęłabym tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \frac{2^n}{7^n} +1\right) }{ \left(-2 \right)^n+7^n \cdot 7 }= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \left( \frac{2}{7} \right) ^n +1\right) }{7^n \left( \frac{(-2)^n}{7^n}+7 \right) }=...}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^n+7^n}{(-2)^n+7^{n+1}}= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \frac{2^n}{7^n} +1\right) }{ \left(-2 \right)^n+7^n \cdot 7 }= \lim_{n \to \infty } \frac{7^n \left( \left( \frac{2}{7} \right) ^n +1\right) }{7^n \left( \frac{(-2)^n}{7^n}+7 \right) }=...}\)
Oblicz granicę ciągu
Wez chlopie sobie jaj nie rob. Chcesz sie tego nauczyc tak? (wiek 16 lat) No to kurde zacznij sam robic te zadania. Zadanie sie robi tak samo wiec nie ma potrzeby zeby Ci pokazac krok po kroku co trzeba robic. Jak sobie nie dajesz rady to sobie daruj nauke.mikrobart pisze:Na prawdę nie wiem, jak analogicznie. Proszę o zrobienie krok po kroku