Witam! czy moglabym prosić o pomoć w rozwiązaniu zadania:
udowodnić za pomocą tw Lagrange'a podaną nierówność
\(\displaystyle{ a,b \in R}\)
\(\displaystyle{ |ln(1+ b^{2}) -ln(1+ a^{2})|<|b-a|}\)
z góry dziękuję!
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
Chyba należy zastosować to twierdzenie (o wartości średniej) dla funkcji danej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\ln\left(1+x^2\right)}\). Jaki przedział?
\(\displaystyle{ f(x)=\ln\left(1+x^2\right)}\). Jaki przedział?
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
tak, właśnie to twierdzenie należy zastosować, ale niestety nie wiem jak;/
\(\displaystyle{ a,b \in R}\) tylko tyle wiemy.
\(\displaystyle{ a,b \in R}\) tylko tyle wiemy.
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
A co by było gdyby ustalić parametry \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że np. \(\displaystyle{ a<b}\) oraz rozpatrzyć przedział o końcach w tych punktach?
Założenia twierdzenia będą spełnione? Jeśli tak, to co dostajemy na podstawie tego twierdzenia (jak teza)?
Założenia twierdzenia będą spełnione? Jeśli tak, to co dostajemy na podstawie tego twierdzenia (jak teza)?
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 13 cze 2010, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ketrzyn
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
Nie jestem tylko pewny czy tam nie powinno być znaku \(\displaystyle{ \le}\)
Reszta jest dość prosta - przynajmniej na to wygląda. Nierówność można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \le 1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| \ge \left| a\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \ge -1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| < \left| a\right|}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \le 1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| \ge \left| b\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \ge -1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| < \left| b\right|}\)
czyli pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln \left( 1+x ^{2} \right) \qwad dla \qwad \quad x \in \left(a,b \right)}\) musi być większa od -1 i mniejsza od 1
teraz tylko udowodnij, że:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2x}{1+x ^{2} } \le 1 \quad dla \quad kazdego \quad x}\)
co nie wymaga chyba opisu na forum.
Przypadek a = b rozwiązuje się sam.
Nie jestem z wykształcenia matematykiem - moje rozwiązanie jest intuicyjne, więc warto je skonsultować. Pozdrawiam
Reszta jest dość prosta - przynajmniej na to wygląda. Nierówność można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \le 1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| \ge \left| a\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+b ^{2} \right) - \ln \left(1+a ^{2} \right)}{ \left( b-a\right) } \ge -1 \quad dla \quad b > a \quad i \quad \left| b\right| < \left| a\right|}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \le 1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| \ge \left| b\right|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ \ln \left(1+a ^{2} \right) - \ln \left(1+b ^{2} \right)}{ \left( a-b\right) } \ge -1 \quad dla \quad a > b \quad i \quad \left| a\right| < \left| b\right|}\)
czyli pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln \left( 1+x ^{2} \right) \qwad dla \qwad \quad x \in \left(a,b \right)}\) musi być większa od -1 i mniejsza od 1
teraz tylko udowodnij, że:
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{2x}{1+x ^{2} } \le 1 \quad dla \quad kazdego \quad x}\)
co nie wymaga chyba opisu na forum.
Przypadek a = b rozwiązuje się sam.
Nie jestem z wykształcenia matematykiem - moje rozwiązanie jest intuicyjne, więc warto je skonsultować. Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
udowodnić nierówność stosując tw Lagrange'a
\(\displaystyle{ \frac{2x}{1+x ^{2} } \le 1 \Leftrightarrow x^2-2x+1 \ge 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 \ge 0}\)
Ale postępujesz inaczej niż prosiłem. Jaka jest teza twierdzenia Lagrange'a?
Ale postępujesz inaczej niż prosiłem. Jaka jest teza twierdzenia Lagrange'a?