jak wyliczyć objętość??

[baca4b]

mam za zadanie obliczyć objętość bryły wyciętej z walca \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y}\) powierzchnią stożka \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =4z ^{2}}\)
mógł by mi ktoś pomóc??

[okon]

skorzystaj z tego wzorku:
\(\displaystyle{ |V|=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^2 dx = ...}\)

[baca4b]

wydaje mi sie ze trzeba to policzyc za pomoca calki podwojnej??

[okon]

\(\displaystyle{ y^2= 4z^2}\)
\(\displaystyle{ y= 2z}\)

\(\displaystyle{ |V|= \frac{1}{2} \pi \int_{0}^{1} [2z]^2 dz = ...}\)

[baca4b]

nie czaje zupelnie Twojej koncepcji,moglbys to jakos przyblizyc?nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ y ^{2} =4z ^{2}}\)?i dlaczego granice calkowania sa od 0 do 1?

[thralll]

Według mnie trochę inaczej.
Pierwsza rzecz to uzmysłowienie sobie jak podana bryła mniej więcej wygląda.
Najpierw zajmijmy się walcem:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} \le 2y \\ x^2+(y-1)^2 \le 1}\)
Tłumacząc na bardziej ludzki nasz walec to długa wypełniona rura, nieograniczona pod względem długości, której każdy przekrój stanowi koło o promieniu 1 i środku w x=0 y=1.
Drugie równanie przedstawia dwie powierzchnie ostrosłupa o wierzchołku w punkcie (0,0,0) i symetryczne do płaszczyzny z=0
Równanie tych płaszczyzn możemy wyliczyć wyciągając z z drugiego równania. Otrzymamy:
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} =4z ^{2} \\ z= \frac{\sqrt{x ^{2}+y ^{2}}}{2} \wedge z= \frac{- \sqrt{x ^{2}+y ^{2}}}{2}}\)
Teraz pozostaje nam policzenie całki po obszarze przekroju walca, z różnicy wartości funkcji ograniczających bryłę z góry i z dołu. Otrzymamy więc:

\(\displaystyle{ \int_{D} \frac{\sqrt{x ^{2}+y ^{2}}}{2}- \left( - \frac{\sqrt{x ^{2}+y ^{2}}}{2} \right)}\)
Ponieważ ograniczający obszar to koło, łatwiej będzie liczyć całkę gdy przejdziemy na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=rcos\phi\\ y=rsin\phi\\ r \in <0; \cdot sin\phi > \\ \phi \in <0;\pi>}\)
zamieniając pamiętamy o pomnożeniu przez jakobian.
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{sin\phi} r \cdot \sqrt{(rcos\phi) ^{2}+(rsin\phi) ^{2}} dr d\phi}\)
Korzystając z jedynki trygonometrycznej dostaniemy, dość prostą do policzenia całkę, która wyraża szukaną objętość bryły:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{sin\phi} r^3 dr d\phi}\)

pozdrawiam
thralll

[baca4b]

bardzo przejrzyście to objaśniłeś,jestem mega wdzieczny:)tylko mam maly problem, bo niedokońca wiem jak ustalac granice całkowania zarówno przed jak i po zamianie na biegunowe:/??
dzieki za pomoc
pozdrawiam

[thralll]

Żeby ustalić granicę musisz sobie narysować powierzchnię po której całkujesz, po prostu wykres x,y w którym narysujesz okrąg z wypełnieniem.
Jeżeli środek koła pokrywa się z środkiem układu współrzędnych to nie ma żadnego problemu po prostu:
\(\displaystyle{ x=rcos\phi\\ y=rsin\phi\\ r \in <0; r > \\ \phi \in <0;2\pi>}\)

x i y to standardowa zamiana, ponieważ chodzi nam o koło (okrąg i to co jest w środku) promień rozpatrujemy od początku do końca czyli od zera do r. Podobnie z kątem rozpatrujemy cały przedział od zera do 360 stopni. Jeżeli mielibyśmy wycinek koła zmieniała by się kąt, jeżeli w kole znajduje się drugie koło o wspólnym środku, którego nie bierzemy pod uwagę wtedy podnosimy dolną granicę całkowania.

Trochę bardziej problematycznie jest gdy koło jest przesunięte i jego środek nie pokrywa się z środkiem układu współrzędnych, wtedy można zastosować dwa sposoby:
1)dodanie przesunięcia do x i y, dla powyższego przykładu otrzymalibyśmy:
\(\displaystyle{ x=rcos\phi\\ y=rsin\phi +1 \\ r \in <0;1 > \\ \phi \in <0;2\pi>}\)
W Twoim przypadku podstawienie spowodowało by że pod pierwiastkiem pozostały by wartości do scałkowania, więc całka była by dość trudna.
2)zostawienie x, y bez zmian natomiast zmiana dziedziny kąta, i uzależnienie promienia od kąta
czyli tak jak zrobiłem w Twoim przykładzie w poprzednim poście. Kąt po którym całkujemy odczytujemy z rysunku, ponieważ całe koło jest powyżej lub na osi OX to kąt zawiera się w przedziale od 0 do 180 stopni. Promień uzależniamy od kąta po prostu przy użyciu f. trygonometrycznych.

I tyle mojego wykładu, mam nadzieję, że choć trochę przybliżyło Ci to temat
pozdrawiam
thralll

[baca4b]

przyblizylo i to bardzo:)
juz rozumiem czemu granica kata wyglada tak,tylko jak obliczam granice promienia z f. trygonometrycznej to granica wychodzi mi \(\displaystyle{ <0,2sin \alpha >}\) mozesz mi powiedziec gdzie robie blad??

[thralll]

Nie robisz błędu, to ja się pomyliłem i zamiast średnicy podstawiłem promień. Powinno być:
\(\displaystyle{ x=rcos\phi\\ y=rsin\phi\\ r \in <0;2 \cdot sin\phi > \\ \phi \in <0;\pi>}\)
Nawet kropkę zrobiłem tylko dwójka mi umknęła
Teraz zobaczyłem, że jeszcze pomyliłem się przy wyciąganiu spod pierwiastka. Ostatecznie powinno być:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2sin\phi} r^2 dr d\phi}\)
Widać późna pora mi nie służy.
Dobrze, że próbujesz zrozumieć, a nie przepisujesz na pałę. Sam sposób rozwiązywania jest na pewno dobry, ale sprawdź jeszcze wszystkie przekształcenia, bo lubi mi czasami coś umknąć (co zresztą widać). Gdyby coś jeszcze był nie jasne to pytaj śmiało.
pozdrawiam
thralll

[baca4b]

dzięki wielkie za pomoc:) naprawde bardzo pomogłeś mi w zrozumieniu problematyki tego typu zadań, teraz już wiem jak się za to wszystko zabrac:) przerobie jeszcze kilka przykładów i jak będe miał problem to napisze

jeszcze raz dzięki i gorąco pozdrawiam

[okon]

No dobra, rozwiązaliście to za pomocą całki potrójnej, ale może będzie ktoś tak uprzejmy i rozwiąże to za pomocą całki pojedynczej? Ja próbowałem, no ale gdzie robie bład...

pozdrawiam

[Mariusz M]

okon, z tego co ja wiem to całką pojedynczą to obliczysz
objętość bryły obrotowej a objętość bryły ograniczonej płaszczyznami
to już całka podwójna ... lub potrójna z różniczki i jakobianu jeśli zamieniasz zmienne

[okon]

mógłbyś napisać całke?