Jak to udowodnić?
Dane są macierze kwadratowe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) o wymiarach \(\displaystyle{ 7}\)x\(\displaystyle{ 7}\), że liczba \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ AB}\) odpowiadającą wektorowi własnemu \(\displaystyle{ v}\).
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 7}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ BA}\).
wartość własna - dowód
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
wartość własna - dowód
\(\displaystyle{ ABv=7v\\
BAB(v)=B(AB(v))=B(7V)=7Bv}\)
czyli wektor \(\displaystyle{ Bv}\) jest wektorem własnym macierzyBA odpowiadającym wartości własnej 7; wszystko to oczywiście przy założeniu że Bv jest różne od 0, ale gdyby tak było to \(\displaystyle{ ABv=A(Bv)=0=7 \cdot v}\) czyli v musiałoby być wektorem zerowym.
wymiar macierzy tak naprawdę nie ma znaczenia, bo można pokazać że dowolne macierze AB i BA mają zawsze te same wartości własne, jeśli tylko mnożenie AB i BA jest wykonalne.
BAB(v)=B(AB(v))=B(7V)=7Bv}\)
czyli wektor \(\displaystyle{ Bv}\) jest wektorem własnym macierzyBA odpowiadającym wartości własnej 7; wszystko to oczywiście przy założeniu że Bv jest różne od 0, ale gdyby tak było to \(\displaystyle{ ABv=A(Bv)=0=7 \cdot v}\) czyli v musiałoby być wektorem zerowym.
wymiar macierzy tak naprawdę nie ma znaczenia, bo można pokazać że dowolne macierze AB i BA mają zawsze te same wartości własne, jeśli tylko mnożenie AB i BA jest wykonalne.