Nie mam pojecia jak zrobic ta granice.. podobno z de l'Hopitala nie mozna skorzystac gdyz jest to ciag:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } = n( \sqrt[n]{a} -1)}\) dla a>0
Magiczna granica
-
szw1710
Magiczna granica
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{a}-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a^{\frac{1}{n}}-a^0}{\frac{1}{n}-0}}\)
Ale \(\displaystyle{ f'(y)=\lim_{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y},}\) więc z definicji granicy funkcji wg Heinego mamy w szczególności dla \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}}\), że
\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{f \left(\frac{1}{n}\right)-f(0)}{\frac{1}{n}-0}.}\)
Zatem szukana granica to wartość pochodnej w zerze funkcji \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\). Stąd
\(\displaystyle{ f'(x)=a^x\ln a,\quad f'(0)=\ln a}\), więc wartość szukanej granicy to \(\displaystyle{ \ln a.}\)
Ale \(\displaystyle{ f'(y)=\lim_{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y},}\) więc z definicji granicy funkcji wg Heinego mamy w szczególności dla \(\displaystyle{ y=0}\), \(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}}\), że
\(\displaystyle{ f'(0)=\lim_{n\to\infty}\frac{f \left(\frac{1}{n}\right)-f(0)}{\frac{1}{n}-0}.}\)
Zatem szukana granica to wartość pochodnej w zerze funkcji \(\displaystyle{ f(x)=a^x}\). Stąd
\(\displaystyle{ f'(x)=a^x\ln a,\quad f'(0)=\ln a}\), więc wartość szukanej granicy to \(\displaystyle{ \ln a.}\)