Jest takie fajne zadanie:
\(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniowo-topologiczną Frecheta oraz \(\displaystyle{ \dim X = +\infty}\).
Wtedy \(\displaystyle{ X^{*}}\) z \(\displaystyle{ ^*}\) słabą topologią jest I kategorii.
Pomysł który mam wygląda tak:
Załóżmy że jest II kategorii.
Bierzemy \(\displaystyle{ V}\) otoczenie \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ X}\). Rozwżamy zbiór
\(\displaystyle{ K = \left\{x^{*}:\, |x^{*}| \leqslant 1 \textrm{ na } V \right\}}\).
Na mocy twierdzenia Banacha-Alaoglu \(\displaystyle{ K}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ X^{*}}\).
Widać że zbiór jest pochłaniający i zbalansowany zatem
\(\displaystyle{ X^{*} = \bigcup\limits_{t\in\mathbb{R}}t\cdot K = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{Z}}n\cdot K}\)
na mocy argumentu kategorii \(\displaystyle{ K}\) ma niepuste wnętrze. Na mocy wypukłości i symetrii zbioru, jest tam otoczenie \(\displaystyle{ 0}\). Zatem \(\displaystyle{ X^{*}}\) jest lokalnie zwarta i co za tym idzie, skończonego wymiaru.
Wiemy jednak, że w \(\displaystyle{ ^{*}}\) słabej topologii mamy
\(\displaystyle{ (X^{*})^{*} = X}\)
i to daje sprzeczność.
Nie wiem więc czy założenie własności Frecheta jest konieczne?
PS: w ogóle, jest tu fajny trik (mi się osobiście bardzo podoba ); zbiór pochłaniający, wypukły i zamknięty w przestrzeni drugiej kategorii, musi zawierać otoczenie $0$.