Ciała Galoisa

[Elo-Rap]

Mam następujące zadanie :

W Ciele Galoisa \(\displaystyle{ GF(2^{2})}\) będacym rozszerzeniem algebraicznym ciała \(\displaystyle{ Z_{2}}\) za pomocą elementu \(\displaystyle{ \alpha}\) i wielomianu \(\displaystyle{ p(x) = x^{2}+x+1}\) (przyjmujemy że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest pierwiastkiem\(\displaystyle{ p(x)}\)). Oblicz \(\displaystyle{ (\alpha + 1)(\alpha + 1)}\). Wyznacz wielomian minimalny dla elementu \(\displaystyle{ \beta = 1 + \alpha}\)

No i teraz sobie wyznaczyłem zbiór \(\displaystyle{ Z_{2}[x] {/ mod x^{2}+x+1 = \{ 0,1,\alpha, \alpha+1 \}}\)

Licze sobie : \(\displaystyle{ (1 + \alpha)(1 + \alpha) = 1 + 2 \alpha + \alpha^{2} = 1 + \alpha^{2}}\)

No i wydaje mi sie ze teraz powinienem podzielić p(x) przez \(\displaystyle{ 1 + \alpha^{2}}\) i wtedy dostane prawidlowy wynik. Wielomianu minimalnego nie potrafie wyznaczyc, proszę o pomoc.

Pozdrawiam Maciek.

[max]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ (\alpha+1)^{2} = \alpha^{2} + 1}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha^{2} + \alpha + 1 = 0}\) dostajemy łatwo, że \(\displaystyle{ (\alpha + 1)^{2} = \alpha}\).

Co do wielomianu minimalnego \(\displaystyle{ 1 + \alpha}\), to zauważ, że musi on być postaci \(\displaystyle{ x^{2} + ax +b}\) (bo \(\displaystyle{ 1 + \alpha\not \in \mathbb{Z}_2}\), a rozszerzenie \(\displaystyle{ GF(4)/\mathbb{Z}_{2}}\) jest stopnia 2).
Wystarczy więc dobrać tak \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{Z}_{2}}\), żeby \(\displaystyle{ (\alpha + 1)^{2} + b(\alpha + 1) + c = 0}\).

[Elo-Rap]

Jak teraz doczytałem w notatkach to mamy jeszcze inny sposób na szukanie wielomianu minimalnego, otóż wielomian minimalny jest zawsze postaci :

\(\displaystyle{ g(x) = (x - \beta)(x - \beta^{2}) ... (x - \beta^{2^{i}})}\) gdzie \(\displaystyle{ \beta^{2^{i}} = \beta}\)

Teraz pozostaje szukać najmniejszego \(\displaystyle{ \beta}\) o powyższej własności. Czyli w tym przykładzie mamy :
\(\displaystyle{ \beta = \alpha + 1}\)
\(\displaystyle{ \beta^{2} = (\alpha + 1)^{2} = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \beta^{4} = \alpha^{2} = \alpha + 1}\)

Czyli wielomian minimalny jest postaci \(\displaystyle{ g(x) = (x - \beta)(x - \beta^{2})(x - \beta^{4})}\)

Zgadza się ? Nie jestem do końca tego pewien ale tak mam w notatkach.

Pozdrawiam Maciek.

[max]

Powinno być tam:
\(\displaystyle{ g(x) = (x-\beta)\cdot \ldots \cdot (x - \beta^{2^{i-1}})}\)

Wynika to z grubsza z faktu, że grupa Galois \(\displaystyle{ G(GF(p^{n})/GF(p))}\) jest cykliczna, generowana przez \(\displaystyle{ a\mapsto a^{p}}\)

[Elo-Rap]

Tak tak, masz rację. W takim razie wielomian minimalny to \(\displaystyle{ g(x) = (x - \beta)(x - \beta^{2})}\)

To ile to w koncu bedzie wynosic ? Mam podstawic za \(\displaystyle{ \beta = x+1}\) ?

[max]

\(\displaystyle{ \beta = \alpha +1}\) i można przemnożyć.