[Nierówności] Nierówność, może niekonkursowa ale...

[Arst]

...nie mam pojęcia jak jej dowieść:
\(\displaystyle{ \forall \ a,b \in \mathbb{R}_+ \\
a^ab^b \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)
interesują mnie tylko wskazówki/a jak skutecznie się za nią zabrać. Z góry dzięki.

Pozdrawiam

[ordyh]

Mi na razie się Jensen rzuca w oczy, rozwiązanie elementarne może być ciut trudniejsze.

[Dumel]

hint 1:    

ordyh mądrze mówi

Ukryta treść:    

zlogarytmuj

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f(x)=x \ln x}\)

[Piotr Rutkowski]

Nierówność jest prosta, ale okazuje się, że jednak dość mocna, bo prawdziwa jest również nierówność:
\(\displaystyle{ (\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b})^{a+b}\geq a^ab^b \ge \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b}}\)

[Arst]

No dobra w takim razie spróbuje nierówności Jensena (pierwszy raz w praktyce, więc bądźcie wyrozumiali ):
\(\displaystyle{ a^ab^b \ge (\frac{a+b}{2})^{a+b} \\
a \ln a+b \ln b \ge (a+b)\ln \frac{a+b}{2}}\)
\(\displaystyle{ f(a)+f(b) \ge 2f(\frac{a+b}{2})}\)
...i tu utknąłem w martwym punkcie :S Nie wiem co dalej mam z tym zrobić.

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ f(a)+f(b)\ge 2f(\frac{a+b}{2})}\)

i dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\ge f(\frac{a+b}{2})}\) co na mocy tego, że ln jest wypukły w górę (wklęsły) jest prawdą. właściwie to lepiej byłoby zacząć od końca i dojść to wyjściowej nierówności

[ordyh]

Tak, najłatwiej najpierw zlogarytmować tezę i przekształcić tak:
\(\displaystyle{ a\ln a + b\ln b \geq (a+b)\ln(\frac{a+b}{2})}\)
Zobaczyć jaka funkcja mogłaby nam się przydać, przy czym suma funkcji jest większa, więc szukamy funkcji wypukłej, \(\displaystyle{ \ln x}\) jest wklęsła, ale \(\displaystyle{ x \ln x}\) jest już wypukła, ponieważ jej druga pochodna \(\displaystyle{ f''(x) = 1/x}\) jest dodatnia w \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\).
Zatem wobec nierówności Jensena (wagi po \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\))
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\geq f(\frac{1}{2}\cdot a + \frac{1}{2}\cdot b)}\)
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)\geq 2f(\frac{a+b}{2})}\)
a to jest...?

[kammeleon18]

Tutaj akurat(wydaje mi sie) chodzi o zastosowania nierówności między średnią harmoniczną i geometryczną ważoną,to co proponują poprzednicy to jest dowodzenie własnie tej nierówności w tym konkretnym przykładzie,więc oczywiście też jest poprawnie.