specyficzna całka wymierna

[jacek_ns]

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}}}\)

[miki999]

Myślę, że podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) mogłoby podziałać. Później żonglerka, rozkłady na ułamki proste, arkus tangensy/logarytmy naturalne i tak na oko coś tam wyjdzie.



Pozdrawiam.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}}}\)

Ja proponuję przez części

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u= \sqrt{x}& \mbox{d}v= \frac{1}{ \left(x+1 \right)^2 } \mbox{d}x \\ \mbox{d}u= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \mbox{d}x &v=- \frac{1}{x+1} \end{vmatrix}=- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\int{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot \frac{1}{x+1} \mbox{d}x }}\)

Tę drugą całkę można podstawieniem
(można też zauważyć że funkcja podcałkowa to pochodna arcus tangensa )

\(\displaystyle{ =- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\arctan{ \sqrt{x} }+C}\)

(To nie jest całka wymierna ale może zostać do niej sprowadzona podstawieniem
o którym wspominał miki999 )

[jacek_ns]

tylko po podstawieniu mikkiego całka przybiera postać \(\displaystyle{ \int \frac{2u^2du}{(1+u^2)^2}}\) ułamkami prostymi jakiś kosmos wyjdzie

[M Ciesielski]

Nie sprawdzam czy tak powinno wyjść, ale tego się na ułamki proste nie rozkłada.

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x = \int x \frac{x}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x}\) i przez części, gdzie \(\displaystyle{ u = x \text{ a } v' = \frac{x}{(x^2+1)^2}}\). Do wyznaczenia \(\displaystyle{ v}\) całkujemy przez podstawienie \(\displaystyle{ t = x^2+1}\).

[miki999]

Nie sprawdzam czy tak powinno wyjść,

Też nie sprawdzam, ale chodziło mi o rozkład:
\(\displaystyle{ \frac{A}{(1+u^2)^2}+ \frac{B}{1+u^2}}\)
No i tamtą dwójkę można przed całkę wywalić, aby nie przeszkadzała, ale to, Jacku, wiesz.

Btw. kiedyś już tego typu przykłady rozwiązywałem i z takiej postaci bardzo ładnie się rozbijało Teraz mi się nie chce sprawdzać czy rzeczywiście tak jest, więc istnieje możliwość, że piszę głupoty.



Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Koledzy przecież macie wynik
Najlepiej od razu przez części
Dopiero później można podstawić ale jeśli ktoś ma wprawę to
po scałkowaniu przez części już nie musi podstawiać

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(1+x)^{2}} \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u= \sqrt{x}& \mbox{d}v= \frac{1}{ \left(x+1 \right)^2 } \mbox{d}x \\ \mbox{d}u= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \mbox{d}x &v=- \frac{1}{x+1} \end{vmatrix}=- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\int{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot \frac{1}{x+1} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{ \sqrt{x} }{x+1}+\arctan{ \sqrt{x} }+C}\)