Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jednorodnego.
1.\(\displaystyle{ y^{'}(x ^{2}-xy)+y ^{2}=0}\)
2.\(\displaystyle{ y ^{'}= \frac{x ^{2}+y ^{2} }{2xy}}\)
3.\(\displaystyle{ x ^{2}y ^{'}=(x ^{2}+xy+y ^{2}) , y(1)=1}\)
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego.
4.\(\displaystyle{ y ^{'}-2xy=x}\)
5.\(\displaystyle{ y ^{'}- \frac{y}{x}=xcosx}\)
6.\(\displaystyle{ y ^{'}+5x ^{4}y=x ^{4} , y(0)=-7}\)
Równanie różniczkowe jednorodne
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Równanie różniczkowe jednorodne
Trzy pierwsze równania są typu : \(\displaystyle{ y'=f(\frac{y}{x})}\). W równaniach tych stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) i wyliczamy y oraz liczymy z niego pochodną \(\displaystyle{ y= u \cdot x , y'=u' \cdot x + u}\).
\(\displaystyle{ y' (x^2-xy)+y^2=0}\)
\(\displaystyle{ y' (x^2-xy)=-y^2}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{y^2}{x^2-xy}}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{y^2}{x^2(1-\frac{y}{x})}}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{(\frac{y}{x})^2}{1-\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x},y= u \cdot x,y'=u' \cdot x + u}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x + u=-\frac{u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =-\frac{u^2}{1-u}-u}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =-\frac{u^2}{1-u}-\frac{u-u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =\frac{-u^2-u+u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} \cdot x =\frac{u}{u-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{u-1}{u} du=\frac{1}{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \, du - \int\frac{1}{u} \, du=\int\frac{1}{x} \, dx}\)
\(\displaystyle{ u - \ln \vert u \vert=\ln \vert x \vert +c_1}\)
\(\displaystyle{ c_2=-c_1}\)
\(\displaystyle{ u +c_2=\ln \vert x \vert + \ln \vert u \vert}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = e^{u+c_2}}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = e^{c_2} e^{u}}\)
\(\displaystyle{ c=e^{c_2}}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = c \cdot e^{u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \cdot x = c \cdot e^{\frac{y}{x}}}\)
Rozwiązanie :
\(\displaystyle{ y= c \cdot e^{\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ y' (x^2-xy)+y^2=0}\)
\(\displaystyle{ y' (x^2-xy)=-y^2}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{y^2}{x^2-xy}}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{y^2}{x^2(1-\frac{y}{x})}}\)
\(\displaystyle{ y' =-\frac{(\frac{y}{x})^2}{1-\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ u=\frac{y}{x},y= u \cdot x,y'=u' \cdot x + u}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x + u=-\frac{u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =-\frac{u^2}{1-u}-u}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =-\frac{u^2}{1-u}-\frac{u-u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ u' \cdot x =\frac{-u^2-u+u^2}{1-u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} \cdot x =\frac{u}{u-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{u-1}{u} du=\frac{1}{x} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \, du - \int\frac{1}{u} \, du=\int\frac{1}{x} \, dx}\)
\(\displaystyle{ u - \ln \vert u \vert=\ln \vert x \vert +c_1}\)
\(\displaystyle{ c_2=-c_1}\)
\(\displaystyle{ u +c_2=\ln \vert x \vert + \ln \vert u \vert}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = e^{u+c_2}}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = e^{c_2} e^{u}}\)
\(\displaystyle{ c=e^{c_2}}\)
\(\displaystyle{ u\cdot x = c \cdot e^{u}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \cdot x = c \cdot e^{\frac{y}{x}}}\)
Rozwiązanie :
\(\displaystyle{ y= c \cdot e^{\frac{y}{x}}}\)
-
GTRomek
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
Równanie różniczkowe jednorodne
Dziękuję już za pomoc a czy z wyznaczeniem rozwiązania ogólnego równania różniczkowego liniowego jest mi ktoś w stanie pomóc?
-
kolorowe skarpetki
- Użytkownik
- Posty: 400
- Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Pomógł: 64 razy
Równanie różniczkowe jednorodne
Zadanie 2
\(\displaystyle{ y' = \frac{x^2+y^2}{2xy}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x^2(1+(\frac{y}{x})^2)}{x^2 \cdot 2\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{2\frac{y}{x}}}\)
Dalej postępujemy jak w zadaniu pierwszym. Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) itd.
Zadanie 3
\(\displaystyle{ x^2y'=(x^2+xy+y^2)}\)
\(\displaystyle{ x^2 y'=x^2(1+\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2) \quad \big / : x^2}\)
\(\displaystyle{ y'= 1+\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}\)
Dalej postępujemy jak w zadaniu pierwszym. Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) itd.
Zadanie 4
\(\displaystyle{ y'-2xy=x}\)
1) Wyznaczamy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego (RORRLJ).
\(\displaystyle{ y'-2xy=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2xy}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} dy = 2x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x \, dx}\)
\(\displaystyle{ \ln \vert y \vert = x^2 + c_1}\)
\(\displaystyle{ y = e^{x^2+c1}}\)
\(\displaystyle{ y = e^{c_1} \cdot e^{x^2}}\)
\(\displaystyle{ c=e^{c_1}}\)
\(\displaystyle{ y=ce^{x^2}}\) RORRLJ
2) Metodą uzmienniania stałej wyznaczamy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego (RSzRRLN).
\(\displaystyle{ y = c(x) \cdot e^{x^2}}\)
\(\displaystyle{ y'= c'(x) \cdot e^{x^2} + c(x) \cdot e^{x^2} \cdot 2x}\)
Wstawiamy do naszego równania i wyliczamy \(\displaystyle{ c(x)}\) :
\(\displaystyle{ c'(x) \cdot e^{x^2} + 2x c(x) e^{x^2} - 2x c(x) e^{x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ c'(x) \cdot e^{x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ c'(x) =xe^{-x^2} \quad \big /^{\int}}\)
\(\displaystyle{ c(x)= \int xe^{-x^2} \, dx}\)
\(\displaystyle{ \int xe^{-x^2} \, dx \stackrel{(1)}{=} -\frac{1}{2} \int dt=-\frac{1}{2} t +C_1=-\frac{1}{2} e^{-x^2}+C_1}\)
1) metoda podstawienia : \(\displaystyle{ e^{-x^2} = t , -2x e^{-x^2} dx=dt}\)
Nas interesuje konkretna funkcja \(\displaystyle{ c(x)}\) a zatem możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ c_1=0}\).
\(\displaystyle{ c(x)= -\frac{1}{2} e^{-x^2}}\)
\(\displaystyle{ y= -\frac{1}{2} e^{-x^2} \cdot e^{x^2}=-\frac{1}{2}}\) RSzRRLN
Ostatecznie, rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego niejednorodnego jest (sumujemy rozwiązania) :
\(\displaystyle{ y=ce^{x^2} - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ y' = \frac{x^2+y^2}{2xy}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x^2(1+(\frac{y}{x})^2)}{x^2 \cdot 2\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{2\frac{y}{x}}}\)
Dalej postępujemy jak w zadaniu pierwszym. Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) itd.
Zadanie 3
\(\displaystyle{ x^2y'=(x^2+xy+y^2)}\)
\(\displaystyle{ x^2 y'=x^2(1+\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2) \quad \big / : x^2}\)
\(\displaystyle{ y'= 1+\frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2}\)
Dalej postępujemy jak w zadaniu pierwszym. Podstawiamy \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) itd.
Zadanie 4
\(\displaystyle{ y'-2xy=x}\)
1) Wyznaczamy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego (RORRLJ).
\(\displaystyle{ y'-2xy=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=2xy}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{y} dy = 2x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x \, dx}\)
\(\displaystyle{ \ln \vert y \vert = x^2 + c_1}\)
\(\displaystyle{ y = e^{x^2+c1}}\)
\(\displaystyle{ y = e^{c_1} \cdot e^{x^2}}\)
\(\displaystyle{ c=e^{c_1}}\)
\(\displaystyle{ y=ce^{x^2}}\) RORRLJ
2) Metodą uzmienniania stałej wyznaczamy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego (RSzRRLN).
\(\displaystyle{ y = c(x) \cdot e^{x^2}}\)
\(\displaystyle{ y'= c'(x) \cdot e^{x^2} + c(x) \cdot e^{x^2} \cdot 2x}\)
Wstawiamy do naszego równania i wyliczamy \(\displaystyle{ c(x)}\) :
\(\displaystyle{ c'(x) \cdot e^{x^2} + 2x c(x) e^{x^2} - 2x c(x) e^{x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ c'(x) \cdot e^{x^2}=x}\)
\(\displaystyle{ c'(x) =xe^{-x^2} \quad \big /^{\int}}\)
\(\displaystyle{ c(x)= \int xe^{-x^2} \, dx}\)
\(\displaystyle{ \int xe^{-x^2} \, dx \stackrel{(1)}{=} -\frac{1}{2} \int dt=-\frac{1}{2} t +C_1=-\frac{1}{2} e^{-x^2}+C_1}\)
1) metoda podstawienia : \(\displaystyle{ e^{-x^2} = t , -2x e^{-x^2} dx=dt}\)
Nas interesuje konkretna funkcja \(\displaystyle{ c(x)}\) a zatem możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ c_1=0}\).
\(\displaystyle{ c(x)= -\frac{1}{2} e^{-x^2}}\)
\(\displaystyle{ y= -\frac{1}{2} e^{-x^2} \cdot e^{x^2}=-\frac{1}{2}}\) RSzRRLN
Ostatecznie, rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego liniowego niejednorodnego jest (sumujemy rozwiązania) :
\(\displaystyle{ y=ce^{x^2} - \frac{1}{2}}\)