Witam, bardzo jestem ciekaw w jaki elementarny sposób (tzn. bez użycia rachunku różniczkowego) można wyprowadzić następujące granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1 \\
\lim_{x \to 0} \left( 1+x \right)^{\frac{1}{x}} = e \\
\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x} = lna, \ a>0 \\
\lim_{x \to 0} \frac{log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{lna}, \ a>0, \ a \neq 1 \\
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a}\)
Interesują mnie tu wszelkiej maści trickowe podstawienia, przekształcenia - wszystko byle bez pochodnych.
Mile widziane linki (po angielsku też mogą być)
Pozdrawiam
Specyficzne granice
-
miodzio1988
Specyficzne granice
Wszystko na ważniaku znajdziesz albo u nas na forum. (nawet na wiki jest kilka dowodów przy okazji wyprowadzania wzorów na pochodne niektórych funkcji)
Np pierwsze:
post714594.htm
Np pierwsze:
post714594.htm
-
Arst
- Użytkownik
- Posty: 767
- Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: University of Warwick
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 50 razy
Specyficzne granice
Ja właśnie z ważniaka je wziąłem i jest tam notka:
Co do tego pierwszego dowód oczywiście znam tylko przy przeklejaniu tutaj zapomniałem go wyrzucić z listy ;P
Pogrzebie jeszcze w postach tutaj, może na coś trafię.
I kiszka :/ Dziwne, że napisali i takie twierdzenie, w którym zebrano kupę ważnych wzorków i nie dali dowodu :XKolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji. Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi (...). Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć w podręcznikach z analizy matematycznej (do których dostępu niestety nie mam). Pominiemy je w tym miejscu (...).
Co do tego pierwszego dowód oczywiście znam tylko przy przeklejaniu tutaj zapomniałem go wyrzucić z listy ;P
Pogrzebie jeszcze w postach tutaj, może na coś trafię.
-
Arst
- Użytkownik
- Posty: 767
- Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: University of Warwick
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 50 razy
Specyficzne granice
Szacun , żeby zacząć od logarytmu naturalnego...na to bym chyba nie wpadł -- 12 czerwca 2010, 17:19 --Niestety nie znalazłem nic dla ostatniej wymienionej przeze mnie granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a}\)
Więc zmuszony byłem samemu coś wymyślić:
Zakładam, że \(\displaystyle{ a \in N_+}\) bo dla \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego ten sposób nie działa :/
Podstawiając \(\displaystyle{ 1+x=t, \ x=t-1}\)
Prawdziwa jest (?) implikacja: \(\displaystyle{ (x \rightarrow 0) \Rightarrow (t \rightarrow 1)}\)
zatem przepisuję moją granicę w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} \frac{t^a-1}{t-1}=\lim_{t \to 1} \sum_{i=0}^{a-1}t^i=a}\)
Niby się zgadza, ale w założeniach mam \(\displaystyle{ a}\) rzeczywiste i niestety nie idzie nic z tym zrobić :/
btw. z podobnym zjawiskiem spotkałem się przy wyprowadzeniu (z definicji) pochodnej funkcji postaci \(\displaystyle{ x^a}\), gdzie zakłada się, że \(\displaystyle{ a}\) jest naturalne i dowód, że pochodna to \(\displaystyle{ ax^{a-1}}\) jest trywialny. Natomiast nie rozumiem dlaczego nigdzie nie mogę znaleźć dowodu dla wykładnika rzeczywistego Przykład na wiki: jest dla \(\displaystyle{ n \in N_+}\) natomiast tabela niżej podaje, że wzór jest poprawny dla \(\displaystyle{ n \in R \backslash \{1\}}\). No to ja pytam: skoro tak sobie uogólniamy to gdzie jest dowód, że takie coś jest poprawne?
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a-1}{x}=a}\)
Więc zmuszony byłem samemu coś wymyślić:
Zakładam, że \(\displaystyle{ a \in N_+}\) bo dla \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego ten sposób nie działa :/
Podstawiając \(\displaystyle{ 1+x=t, \ x=t-1}\)
Prawdziwa jest (?) implikacja: \(\displaystyle{ (x \rightarrow 0) \Rightarrow (t \rightarrow 1)}\)
zatem przepisuję moją granicę w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 1} \frac{t^a-1}{t-1}=\lim_{t \to 1} \sum_{i=0}^{a-1}t^i=a}\)
Niby się zgadza, ale w założeniach mam \(\displaystyle{ a}\) rzeczywiste i niestety nie idzie nic z tym zrobić :/
btw. z podobnym zjawiskiem spotkałem się przy wyprowadzeniu (z definicji) pochodnej funkcji postaci \(\displaystyle{ x^a}\), gdzie zakłada się, że \(\displaystyle{ a}\) jest naturalne i dowód, że pochodna to \(\displaystyle{ ax^{a-1}}\) jest trywialny. Natomiast nie rozumiem dlaczego nigdzie nie mogę znaleźć dowodu dla wykładnika rzeczywistego Przykład na wiki: jest dla \(\displaystyle{ n \in N_+}\) natomiast tabela niżej podaje, że wzór jest poprawny dla \(\displaystyle{ n \in R \backslash \{1\}}\). No to ja pytam: skoro tak sobie uogólniamy to gdzie jest dowód, że takie coś jest poprawne?