całka powierzchniowa

[okon]

Pole powierzchni bocznej stożka kołowego s o promieniu podstawy 2 i kącie rozwarcia 90 stopni wyraża się całką powierzchniową … (podać rysunek) i wynosi … (obliczyć)

Z jakiej całki skorzystać?

[szw1710]

Czy to z jakiegoś testu? Znając promień podstawy \(\displaystyle{ r}\) i kąt rozwarcia znamy też tworzącą \(\displaystyle{ l}\), a powierzchnia boczna stożka to \(\displaystyle{ \pi rl}\) i nie trzeba żadnej całki. Ale jeśli...

Najpierw wprowadź dobrze układ współrzędnych - proponuję tak, żeby początek pokrył się z wierzchołkiem stożka, a wysokość zawierała się w dodatniej części osi \(\displaystyle{ z.}\) Dopiero teraz można się zabrać za pisanie całki. Pole powierzchni płata to całka powierzchniowa niezorientowana po tym płacie z jedynki. Pozostaje podać równanie powierzchni bocznej stożka, a następnie ewentualnie policzyć całkę.

[okon]

Hm... a można to zrobić z tego wzorku, gdzie mamy całkę pojedynczą z funkcji, w granicacy 0 do h, f funkcji której obrót dookoła osi np: y daje nam stożek? i całość razy 2pi ( chyba)-- 10 czerwca 2010, 21:32 --jednak nie... bo mam inne polecenie ;

jak to rownanie ma wygladac?... bo nie bardzo wychodzi.

[szw1710]

To najprostsza metoda z użyciem całki. Ale pytałeś o całkę powierzchniową, więc napisałam, jak to trzeba zrobić.

Jak napisać równanie? Zanalizuj przekroje na poziomach \(\displaystyle{ z\geqslant 0}\) i wszystko stanie się jasne.

[okon]

niestety, nie jest jasne.

Niby sobie narysowałem, mam granice dla x<0,2> dla y<-2,2> a dla z <0, -y+1>
Nie wiem czy o to chodzi, no i co dalej...

[szw1710]

Weź dowolne \(\displaystyle{ z>0.}\) Co jest przekrojem powierzchni stożkowej (w proponowanym przeze mnie układzie) płaszczyzną równoległą do pł. \(\displaystyle{ xy}\) i oddaloną od niej o \(\displaystyle{ z}\)?

[okon]

okrąg?

[szw1710]

To jakie jest jego równanie?

[okon]

juz sam nie wiem ;