całka z e
-
orwe
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 30 maja 2009, o 22:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
całka z e
czy może ktoś mi napisać jak zabrać się za obliczanie \(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty } e^{-x^{2}}}\) wiem że wynik tego to \(\displaystyle{ 1/2 \sqrt{ \pi }}\). Opcjonalnie jak formalnie policzyć gammę_Eulera(1/2) bo ja podstawiałem \(\displaystyle{ |t^{1/2} = x |}\) ale utknąłem na powyższej całce. Z góry thx
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
całka z e
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \mbox{d}x \right)^2 =
\left( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \mbox{d}x \right) \cdot \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \mbox{d}y \right) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Zamiana na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x= r\cos \phi \\
y= r\sin \phi \\
0 \leq r \leq +\infty \\
0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \\
|J|=r}\)
W nowych zmiennych mamy:
\(\displaystyle{ \dots = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty} re^{-r^2} \mbox{d}r \mbox{d}\phi =
\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{-r^2}|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{4}}\)
czyli wyjściowa całka jest równa \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2}}\).
Q.
\(\displaystyle{ \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \mbox{d}x \right)^2 =
\left( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \mbox{d}x \right) \cdot \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \mbox{d}y \right) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Zamiana na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x= r\cos \phi \\
y= r\sin \phi \\
0 \leq r \leq +\infty \\
0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2} \\
|J|=r}\)
W nowych zmiennych mamy:
\(\displaystyle{ \dots = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty} re^{-r^2} \mbox{d}r \mbox{d}\phi =
\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{-r^2}|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{4}}\)
czyli wyjściowa całka jest równa \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2}}\).
Q.