wyrażenia wymierne (jutro zaliczam!)

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 21:51

Mam pare pytań z wyrażeń wymiernych. Proszę o pomoc gdyż jutro to zaliczam.
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{9-x^2}}\) ; \(\displaystyle{ \frac{3-x}{x^2-9}}\) czy wyrażenia są równe? jak to uzasadnić?

\(\displaystyle{ \frac{x}{x^3+27}}\) co jest dziedziną? wiem, że -3 bo \(\displaystyle{ -3^{3}}\) + 27=0, ale czy można to inaczej zrobić? deltą?

no i jak uzupełnić zapis? \(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{?}{x^2-5x+6}}\)
oraz \(\displaystyle{ \frac{x-7}{x}}\) = \(\displaystyle{ \frac{x^2-7x}{?}}\)

PS. Jeśli coś źle zrobiłem w temacie to proszę nie zamykać, tylko napisać co, ja poprawię. Dziękuję.

edit/
mam jeszcze problem z zadaniem "skróć wyrażenie"

\(\displaystyle{ \frac{x^2-9}{x^3-3x^2-x+3}}\)

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 22:05

1. \(\displaystyle{ \frac{x-3}{9-x^2} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{-(x-3)}{-(9-x^2)} = \frac{3-x}{x^2-9}}\)

2. Delta to wyznacznik wielomianu stopnia drugiego. To jest stopień trzeci. Za to można rozłożyć wielomian w mianowniku na czynniki ze wzoru skróconego mnożenia.

\(\displaystyle{ x^3 + 27=(x+3)(x^2-3x+9)}\)

Przyrównując do zera mamy:

\(\displaystyle{ x+3 = 0 \vee x^2-3x+9=0}\)

Delta trójmianu jest ujemna, zatem tylko \(\displaystyle{ x=-3}\) zeruje całe wyrażenie.

3. \(\displaystyle{ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)}\)

Zatem wystarczy \(\displaystyle{ x}\) przemnożyć przez brakującą sumę \(\displaystyle{ x-3}\), co da nam w rezultacie:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}=\frac{x(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2-3x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2-3x}{x^2-5x+6}}\)

W następnym przykładzie wyciągnij \(\displaystyle{ x}\) z drugiego licznika przed nawias, a będziesz wiedział, czego brakuje.

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 22:16

wielkie dzięki.
a w zadaniu typu jak to 1 zawsze mnożymy licznik i mianownik przez -1?

mam jeszcze problem z zadaniem "skróć wyrażenie"

\(\displaystyle{ \frac{x^2-9}{x^3-3x^2-x+3}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 cze 2010, o 22:28

Licznik : \(\displaystyle{ (x-3)(x+3)}\)

Mianownik (do dokończenia) : \(\displaystyle{ x^2(x-3)-1(x-3)}\)

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 22:36

\(\displaystyle{ \frac{x-7}{x}}\)=\(\displaystyle{ \frac{x^2-7x}{?}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-7}{x}}\)=\(\displaystyle{ \frac{x(x-7)}{x^2}}\) x skróci się z \(\displaystyle{ x^{2}}\) i wynik jest dobry?

piasek101 powiedz czy dobrze obliczam.

\(\displaystyle{ \frac{(x-3)(x+3)}{x^2(x-3)-1(x-)}}\) skracam i zostaje \(\displaystyle{ \frac{x+3}{x^2-x+3}}\) ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 10 cze 2010, o 22:44

1. ok

2. Nie - musisz mieć postać iloczynową w mianowniku; pisałem ,,do dokończenia".
Napiszę ja bo już lecę : \(\displaystyle{ (x-3)(x^2-1)}\) i teraz skracać.

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 22:59

1. no to zadanie będzie wyglądać:

\(\displaystyle{ \frac{x^2-9}{x^3-3x^2-x+3}}\) = \(\displaystyle{ \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2-1)}}\) ? a skąd się wziął mianownik?

po skróceniu wtedy wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{x+3}{x^2-1}}\) ?

2. czy wyrażenia są równe? \(\displaystyle{ \frac{x-3}{9-x^2}}\) ; \(\displaystyle{ \frac{3-x}{x^2-9}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-3}{9-x^2} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{-(x-3)}{-(9-x^2)} = \frac{3-x}{x^2-9}}\)
czy w zadaniach tego typu zawsze licznik i mianownik mnożymy przez -1?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 23:02

Mnożymy tak, żeby doprowadzić wyrażenie początkowego do końcowego, to mieliśmy zrobić.

Co do pytania o mianownik: grupowanie wyrazów.

\(\displaystyle{ x^3-3x^2-x+3 = x^2(x-3) - (x-3) = (x^2 - 1)(x-3)}\)

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 23:18

^ nie rozumiem tego grupowania

a więc przy sprawdzaniu czy wyrażenia są równe, zawsze mnożymy przez -1?

kolejne zadanie.

3-\(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{3(x-2)}{x-2}}\) - \(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{3x-6-x}{x-2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{2x-6}{x-2}}\). Założenie: x nie jest 2. Czy to dobrze?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 23:33

Jeśli nie rozumiesz, to powinieneś postarać się nauczyć.

Powyższe przekształcenia są poprawne.

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 23:39

uwierz mi, że się staram, ale ok. co z tym zadaniem?

\(\displaystyle{ \frac{x^3-8}{x^2+3x+2}}\) * \(\displaystyle{ \frac{x(x+2)^2}{x^2-4}}\) = \(\displaystyle{ \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2+3x+2}}\) * \(\displaystyle{ \frac{x(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}}\) = i jak to dalej rozwiązać?

W tym zadaniu założenia to x nie jest 2 ani -2, dobrze mówie?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 23:44

\(\displaystyle{ x^2+3x+2}\) sprowadzić do postaci iloczynowej i skrócić potem, co się da. Pierwiastki tego wielomianu również nie należą do dziedziny.

adisekxd · Post autor: **adisekxd** » 10 cze 2010, o 23:52

jak sprowadzić do postaci iloczynowej?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 10 cze 2010, o 23:56

Obliczyć deltę i wyznaczyć pierwiastki tego wielomianu. Postać iloczynowa, przypominam. to \(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)}\).