Jak sprawdzić, czy jest to grupa

[marsul]

Sprawdziłam dla zbioru \(\displaystyle{ A= \{a+b \sqrt{3} : a,b \in Q \wedge a^{2} + b^{2} \neq 0 \}}\) z działaniem zwykłym dodawaniem, że jest spełniony warunek łączności. Jak poszukać elementu neutralnego i wyliczyć element odwrotny?
Ten sam zbiór mam sprawdzić czy jest grupą z działaniem mnożenia. Łączność wydaje mi się, że potrafię sprawdzić, najgorzej pozostałe dwie własności grupy.
Czy mogłabym liczyć na pomoc?
Julka

[baracuda2]

neutralny wzór \(\displaystyle{ a \cdot e = a = e \cdot a}\)



odwrotny: \(\displaystyle{ a \cdot b = e= b \cdot a}\) (wyliczamy b)

kropka to twoja działanie mnożenie i dodawanie

[marsul]

Tak, tylko tutaj rolę a pełni cała postać liczby, czyli \(\displaystyle{ a+b \sqrt {3}}\). I teraz jak uzależnić e od wyrażenia \(\displaystyle{ a+b \sqrt {3}}\) ?

[sushi]

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3}) \cdot e = e \cdot (a+b \sqrt{3})= a+b \sqrt{3}}\)
to tylko
\(\displaystyle{ e=1}\) pasuje

[marsul]

Dzięki za pomoc. Zastanawiam się tylko, czy to nie jest za proste (e=1 dla mnożenia i 0 dla dodawania), jeśli elementy tego zbioru podane są w zależności od a i b czyli \(\displaystyle{ a+b \sqrt{3}}\)

[sushi]

bo jeszcze ten warunek

\(\displaystyle{ a^2 +b^2 \neq 0}\)

a co bedzie jak\(\displaystyle{ a=0}\)

wtedy \(\displaystyle{ A = \{ b \sqrt{3} : b \in Q \}}\)

i mnozenie juz nie pasuje, bo

\(\displaystyle{ b \sqrt{3} \cdot c \sqrt{3}= d \in C}\)

i

\(\displaystyle{ d}\) nie nalezy do \(\displaystyle{ A}\)

[marsul]

Nie ma więc elementu neutralnego, bo 0 i 1 nie mogą należeć do zbioru. Nie można ich przedstawić jako sumy \(\displaystyle{ a+b \sqrt{3}}\) przy warunku, że a, b są liczbami wymiernymi i obydwie nie mogą być jednocześnie zerami. Czyli podany zbiór nie jest grupą ani z działaniem dodawania ani z działaniem mnożenia.

[Jan Kraszewski]

Źle.

Ponieważ \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\), więc wystarczy sprawdzić, czy jest podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), odpowiednio z mnożeniem i dodawaniem (zamiast męczyć się z łącznością).

Z dodawaniem nie jest, bo element neutralny grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{R},+)}\), czyli \(\displaystyle{ 0}\), nie należy do \(\displaystyle{ A}\).

Z mnożeniem jest, bo
1. jest zamkniętość na mnożenie: \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3})(c+d \sqrt 3)=(ac+3bd)+(ad+bc) \sqrt{3}}\);
2. element neutralny należy: \(\displaystyle{ 1=1+0 \cdot \sqrt{3}}\);
3. jest zamknietość na odwrotność:

\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{3})^{-1}= \frac{1}{a+b \sqrt{3}}= \frac{a-b \sqrt{3}}{(a+b \sqrt{3})(a-b \sqrt{3})}=\\
= \frac{a-b \sqrt{3}}{a^2-3b^2}= \frac{a}{a^2-3b^2}+\frac{-b }{a^2-3b^2}\sqrt{3}}\),

czyli \(\displaystyle{ (A, \cdot )}\) jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \cdot )}\).

JK

[marsul]

Na szczęście zanim oddałam pracę doszłam do tych samych wniosków. Zbiór nie jest grupą z działaniem dodawania, ale jest grupą ze zwykłym mnożeniem.
Dziękuję za zainteresowanie zadaniem.
Pozdrawiam wszystkich serdecznie.
Julka