Prawo skracania.

[ing]

Witam, mam problem z takim zadaniem: (próbowałem korzystać z tego, że jest skończony, że to monoid itd. ale mi nie wyszło.

Udowodnij, że skończony monoid, w którym zachodzi jedno z praw skracania jest grupą. Wskazówka: rozważ ciąg elementów a; aa; aaa; aaaa...?

Pozdrawiam!

[Zordon]

Skoro ta struktura jest skończona to istnieją \(\displaystyle{ 0<n<m}\) takie, że:
\(\displaystyle{ a^n=a^m}\)
skracamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ e=a^{n-m}}\)
czyli \(\displaystyle{ e=aa^{n-m-1}}\)
stąd (powtarzając dla prawej strony) \(\displaystyle{ a^{n-m-1}}\) jest elementem odwrotnym dla a.