Obliczenie stosunku

[józef92]

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego nachylona jest do podstawy pod kątem 45(stopni). Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy..

Proszę tylko o wynik

[Lbubsazob]

Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\) ale jeszcze raz sprawdzę.

[józef92]

mi wysokość ściany bocznej wyszła: \(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{2}}}\), a podsatwa dlugosc: \(\displaystyle{ \frac{a}{\sqrt{3}}}\)

okej?:?

[florek177]

a - bok podstawy; policz wysokość jednego trójkąta podstawy i z f. tryg. policz wysokość ściany bocznej,
policz pola i stosunek.

[józef92]

dobrze wyzej policzylem? robilem tak

[Lbubsazob]

Pokaż jak Ci to wyszło.
Ja przyjęłam x za krawędź podstawy i resztę wyliczyłam z połowy kwadratu - wysokość ściany bocznej to \(\displaystyle{ \frac{x \sqrt{3} }{2} \cdot \sqrt{2}}\).

\(\displaystyle{ P_b= \frac{3x^2 \sqrt{6} }{2} \\
P_p= \frac{3x^2 \sqrt{3} }{2} \\
\\
\frac{P_b}{P_p}= \frac{a^2 \sqrt{6} }{2} \cdot \frac{2}{a^2 \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{3} }= \sqrt{2}}\)

EDYCJA: Poprawiłam te swoje bzdury, chyba przestaję już myśleć logicznie...

[józef92]

Wysokość ściany bocznej nam się zgadza.wysokość trojkata podsatwy obliczylem tak:

\(\displaystyle{ h=a-\frac{1}{2}a \\ a-\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a=\frac{a}{\sqrt{3}}}\) No i podstawić to już formalność

Pole boczne to:

\(\displaystyle{ 6 \cdot \frac{1}{2}ah}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ h=a-\frac{1}{2}a \\ a-\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ a=\frac{a}{\sqrt{3}}}\)

Nie mam pojęcia skąd Ci się to wzięło...

Ten trójkąt, co masz w przekroju, jest połową kwadratu (kąt \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) na to wskazuje...), więc wysokość 1 trójkąta w podstawie jest taka sama jak wysokość ostrosłupa, a wysokość podstawy liczysz z Pitagorasa albo z przekątnej kwadratu.
A jak nie tak, to możesz jeszcze \(\displaystyle{ \cos 45^{\circ}= \frac{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }{h}}\).

Poprawiłam

[florek177]

\(\displaystyle{ \frac{P_{b}}{P_{p}} = \sqrt{2}}\)

PS.

\(\displaystyle{ cos(45) = \frac{h_{p}}{h_{s}}}\)

[józef92]

No w podstawie ma 6 trójkątów równobocznych?

wiec rysuje trójkąt prostokątny, gdzie H-wysokość ostrosłupa, h-wysokość trójkąta w podtsaiwe i h3 wysokość ściany bocznej i właśnie robiłęm z cosinuska

-- 9 czerwca 2010, 09:43 --

\(\displaystyle{ \frac{P_{b}}{P_{p}} = \sqrt{2}}\)

PS.

\(\displaystyle{ cos(45) = \frac{h_{p}}{h_{s}}}\)

tak zrobiłem
no zoabcze-- 9 czerwca 2010, 09:50 --

Pokaż jak Ci to wyszło.
Ja przyjęłam x za krawędź podstawy i resztę wyliczyłam z połowy kwadratu - wysokość ściany bocznej to \(\displaystyle{ x \sqrt{2}}\).

\(\displaystyle{ P_b=3x^2 \sqrt{2} \\
P_p= \frac{3x^2 \sqrt{3} }{2} \\
\\
\frac{P_b}{P_p}= \frac{2 \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }= \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\)

Na pewno pole boczne ok? a nie powinien być pierwiastek z 6?

[Lbubsazob]

Zgadza się, przeliczyłam jeszcze raz.
\(\displaystyle{ P_b= \frac{3a^2 \sqrt{6} }{2}\\
P_p= \frac{3a^2 \sqrt{3} }{2} \\
\\
\frac{P_b}{P_p}= \sqrt{2}}\)

[józef92]

Oj kochana <głaszcze> dziękówka! Ale ta dwojka tam po co?:P W polu bocznym

[Lbubsazob]

Gdzie?

\(\displaystyle{ P_b=6 \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{6} }{2} \cdot \frac{1}{2} =3 \cdot \frac{a^2 \sqrt{6} }{2}}\)

[józef92]

Ale wysokość ściany bocznej to chyba tylko same \(\displaystyle{ a\sqrt{6}}\), tak wychodzi mi

[Lbubsazob]

Zobacz. Masz trójkąt równoramienny prostokątny, tak jak połowa kwadratu. Wiemy, że jednym z boków jest wysokość takiego małego trójkąta w podstawie, czyli jakieś \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\). Tą wysokość ściany bocznej traktujesz jak przekątną kwadratu o boku \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\), więc ze wzoru na przekątną masz:
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} \cdot \sqrt{2}= \frac{a \sqrt{6} }{2}}\).
Można też z Pitagorasa, wyjdzie to samo.