Przez środek kwadratu...

[Karmi]

Przez środek kwadratu o boku równym 1 poprowadzono dowolną prostą. Oblicz sumę kwadratów długości tej prostej od czterech długości kwadratu.

[anna_]

Przez środek kwadratu o boku równym 1 poprowadzono dowolną prostą. Oblicz sumę kwadratów długości tej prostej od czterech długości kwadratu.

Co to takiego?

[Karmi]

Przepraszam, siostra mi źle podyktowała. Właściwa treść:

Przez środek kwadratu o boku równym 1 poprowadzono dowolną prostą. Oblicz sumę kwadratów odległości tej prostej od czterech wierzchołków kwadratu.

[anna_]

Trójkąty ACO i EBO są przystające (niech siostra sobie to sama udowodni)
\(\displaystyle{ |AC|=|EO|=x}\)
\(\displaystyle{ |CO|=|EB|=y}\)
\(\displaystyle{ |OB|= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) (połowa przekątnej kwadratu)

Z Pitagorasa dla trójkąta EBO
\(\displaystyle{ |EB|^2+|EO|^2=|OB|^2}\)
\(\displaystyle{ y^2+x^2=(\frac{ \sqrt{2} }{2})^2}\)
\(\displaystyle{ y^2+x^2=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2(y^2+x^2)=1}\)

Sumę kwadratów odległości tej prostej od czterech wierzchołków kwadratu jest równa 1