Wykazać zbiory przeliczalne
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
i pozostało chyba
najtrudniejsze to \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_+|=|\mathbb{Q}|}\)
prosiłbym o wskazówki do tego?
najtrudniejsze to \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_+|=|\mathbb{Q}|}\)
prosiłbym o wskazówki do tego?
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
E tam.
1. \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_-|=|\mathbb{Q}_+|}\) - prosto.
2. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}_-\cup\mathbb{Q}_+\cup\{0\}}\) i korzystasz z twierdzenia o sumie zbiorów przeliczalnych (w którejś z wersji).
JK
1. \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_-|=|\mathbb{Q}_+|}\) - prosto.
2. \(\displaystyle{ \mathbb{Q}=\mathbb{Q}_-\cup\mathbb{Q}_+\cup\{0\}}\) i korzystasz z twierdzenia o sumie zbiorów przeliczalnych (w którejś z wersji).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
1. \(\displaystyle{ g(k)=-k}\)
2. suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym
dobrze?
2. suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym
dobrze?
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
Tak.dobrze?
Jeżeli uprzednio udowodniłeś, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}|=\aleph _0}\), to można też to zrobić inaczej. Sprawdzenie, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}_+|=|\mathbb{Q}|}\) jest prostym wnioskiem wynikającym z inkluzji: \(\displaystyle{ \mathbb{N}_+ \subset \mathbb{Q}_+ \subset \mathbb{Q}}\).
Pozdrawiam.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
Miki, my właśnie to dowodzimy...miki999 pisze:Jeżeli uprzednio udowodniłeś, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}|=\aleph _0}\), to można też to zrobić inaczej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Wykazać zbiory przeliczalne
a jak najlepiej pokazac ze \(\displaystyle{ f:N\times N\to N, f(n,k)=2^n(2k+1)-1}\) jest różnowartościowa
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 sty 2020, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 47
- Podziękował: 2 razy
Re: Wykazać zbiory przeliczalne
ad.2.
Zastanawiałem się kiedyś nad takim dowodzeniem przeliczalności zbioru liczby wymiernych.
1. Liczbę wymierną możemy przedstawić jako dzielnik dwóch liczb całkowitych.
2. Każdą liczbę całkowitą możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie wyrazami o skończonej liczbie głosek (liter). (np. "Sto dwadzieścia pięć miliardów dwieście cztery").
3. Więc także każdy dzielnik możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie (np. "szesnaście tysięcy pięćset cztery podzielić na dwadzieścia osiem").
4. Wyrazy i zdania można posortować jednoznacznie alfabetycznie i jest to porządek, bez powtórzeń. Tutaj oczywiście potrzebny jest lemat o porządku alfabetycznym.
5. Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna.
Czego brakuje takiemu dowodowi ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Wykazać zbiory przeliczalne
Mozesz też zobaczyć tu:
Stąd \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \le \left| \NN\right| .}\)
Nierówność mocy w drugą drugą stronę jest oczywista, gdyż \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \ge \left| \NN \times \left\{ 0\right\} \right|=\left| \NN\right|. }\)
A zatem \(\displaystyle{ \NN \times \NN\sim\NN.}\)
A zatem również iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych (równolicznych z \(\displaystyle{ \NN}\) ) jest przeliczalny, gdyż jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są przeliczalne, czyli równoliczne z \(\displaystyle{ \NN}\), to \(\displaystyle{ A\times B\sim \NN \times \NN\sim\NN,}\) a więc zbiór \(\displaystyle{ A \times B}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \NN}\), czyli przeliczalny.\(\displaystyle{ \square}\)
Stąd \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \le \left| \NN\right| .}\)
Nierówność mocy w drugą drugą stronę jest oczywista, gdyż \(\displaystyle{ \left| \NN \times \NN\right| \ge \left| \NN \times \left\{ 0\right\} \right|=\left| \NN\right|. }\)
A zatem \(\displaystyle{ \NN \times \NN\sim\NN.}\)
A zatem również iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych (równolicznych z \(\displaystyle{ \NN}\) ) jest przeliczalny, gdyż jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są przeliczalne, czyli równoliczne z \(\displaystyle{ \NN}\), to \(\displaystyle{ A\times B\sim \NN \times \NN\sim\NN,}\) a więc zbiór \(\displaystyle{ A \times B}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \NN}\), czyli przeliczalny.\(\displaystyle{ \square}\)
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykazać zbiory przeliczalne
Jakub Gurak, przecież post Strunowca nie dotyczył tego, jak udowodnić przeliczalność zbioru liczb wymiernych. Chodziło o to, by ocenić konkretny pomysł dowodowy.
JK
Nie "dzielnik" tylko "iloraz".Strunowiec pisze: ↑24 sty 2020, o 10:561. Liczbę wymierną możemy przedstawić jako dzielnik dwóch liczb całkowitych.
Dokładności formalnej. Pomysł ogólnie jest dobry, ale na poziomie szczegółów są kłopoty. Nie jest prawdą np., że każdy iloraz możemy zapisać jednoznacznie, bo np. "Jeden podzielić na dwa", "Dwa podzielić na cztery" itd. zapisują tę samą liczbę wymierną. Co więcej, każda liczba wymierna jest zapisana na nieskończenie wiele sposobów. Trzeba to jakoś poprawić. Dalej, stwierdzenie "Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna." wymaga uzasadnienia. A jak zaczniesz doprecyzowywać te kwestie i dowodzić brakujące lematy, to okaże się, że dowód jest dość skomplikowany...Strunowiec pisze: ↑24 sty 2020, o 10:562. Każdą liczbę całkowitą możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie wyrazami o skończonej liczbie głosek (liter). (np. "Sto dwadzieścia pięć miliardów dwieście cztery").
3. Więc także każdy dzielnik możemy wypowiedzieć i zapisać jednoznacznie (np. "szesnaście tysięcy pięćset cztery podzielić na dwadzieścia osiem").
4. Wyrazy i zdania można posortować jednoznacznie alfabetycznie i jest to porządek, bez powtórzeń. Tutaj oczywiście potrzebny jest lemat o porządku alfabetycznym.
5. Uporządkowana alfabetycznie lista zdań opisujących liczby wymierne jest przeliczalna.
Czego brakuje takiemu dowodowi ?
JK