Sumy szeregów potęgowych

[loonatic]

Jak obliczyć sumy szeregów potęgowych (chodzi mi o przekształcenie na sumy częściowe, bo przejść do granicy już raczej dam radę, tak z 2 przykłady z tych):

• \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^n}}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{\infty}x^n}\)
• \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n}\)

[pyzol]

Pierwsze 3 to szeregi geometryczne. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz. Podstaw do wzoru ze szkoły średniej i wyjdzie. Gorzej z ostatnim.-- 25 maja 2010, o 00:11 --\(\displaystyle{ x^n+4x^2+9x^3+...=\\
\sum_{n=1}^\infty (x^n)+3x\sum_{n=1}^\infty (x^n)+5x^2\sum_{n=1}^\infty (x^n)+...=\\
\sum_{n=1}^\infty (x^n) \left(1+3x+5x^2+... \right)=\sum_{n=1}^\infty (x^n) \left(2+4x+6x^2+...-\sum_{n=0}^\infty(x^n) \right)=\\
\sum_{n=1}^\infty (x^n) \left(2(1+2x+3x^2+...)-\sum_{n=0}^\infty(x^n) \right)=\\
\sum_{n=1}^\infty (x^n) \left(2(x+x^2+x^3+...)'-\sum_{n=0}^\infty(x^n) \right)=\\
\frac{x}{1-x} \left( 2\left(\frac{x}{1-x} \right)'-\frac{1}{1-x} \right)=\\
\frac{x}{1-x} \left( \frac{2}{(1-x)^2} -\frac{1}{1-x} \right)=\\
\frac{x}{1-x} \frac{1+x}{(1-x)^2} \right)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}}\)

[marexx]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n}\)

Czy w tym szeregu możemy poprzestawiać wyrazy i pogrupować je w dwa szeregi? Jak zbadać zbieżność tego szeregu?

[losiu99]

Szereg jest bezwzględnie zbieżny dla \(\displaystyle{ |x|<1}\), można przestawiać do woli Co do badania zbieżności - jak w każdym szeregu potęgowym.
Pozdrawiam!