Jak zabrać się za taka granice?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{ x^{2} }- ctg^{2} \left(x \right) \right)}\)
Granica funkcji z kotangensem
-
pirat_kg
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 25 kwie 2010, o 11:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Pomógł: 2 razy
Granica funkcji z kotangensem
i zastosować to bezpośrednio przy takiej formie?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{ x^{2} }- \frac{cos^{2} \left(x \right)}{ sin^{2} \left( x\right) \right)}}\)
wtedy o ile się nie pomyliłem granica wychodzi jeden a ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{ x^{2} }- \frac{cos^{2} \left(x \right)}{ sin^{2} \left( x\right) \right)}}\)
wtedy o ile się nie pomyliłem granica wychodzi jeden a ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
-
?ntegral
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 61 razy
Granica funkcji z kotangensem
Na początek to, co będzie przydatne:
\(\displaystyle{ (\sin^2x)'=\sin2x}\)
\(\displaystyle{ (\cos^2x)'=-\sin2x}\)
\(\displaystyle{ (\sin2x)'=2\cos2x}\)
\(\displaystyle{ (\cos2x)'=-2\sin2x}\)
Teraz "tylko" czterokrotny de L'Hospital:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}-\ctg^2x\right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{x^2\sin^2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin2x-2x\cos^2x+x^2\sin2x}{2x\sin^2x+x^2\sin2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{2\cos2x-2\cos^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x}{2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{12x\cos2x+2\sin2x-4x^2\sin2x}{12x\cos2x+6\sin2x-4x^2\sin2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{16\cos2x-32x\sin2x-8x^2\cos2x}{24\cos2x-32x\sin2x-8x^2\cos2x} \right)= \frac{16}{24}=\frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ (\sin^2x)'=\sin2x}\)
\(\displaystyle{ (\cos^2x)'=-\sin2x}\)
\(\displaystyle{ (\sin2x)'=2\cos2x}\)
\(\displaystyle{ (\cos2x)'=-2\sin2x}\)
Teraz "tylko" czterokrotny de L'Hospital:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^2}-\ctg^2x\right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{x^2\sin^2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin2x-2x\cos^2x+x^2\sin2x}{2x\sin^2x+x^2\sin2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{2\cos2x-2\cos^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x}{2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{12x\cos2x+2\sin2x-4x^2\sin2x}{12x\cos2x+6\sin2x-4x^2\sin2x} \right) = \lim_{x\to 0}\left( \frac{16\cos2x-32x\sin2x-8x^2\cos2x}{24\cos2x-32x\sin2x-8x^2\cos2x} \right)= \frac{16}{24}=\frac{2}{3}}\)
-
frej
Granica funkcji z kotangensem
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\tg ^2 x} = \frac{\tg x + x}{\tg x} \cdot \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cos ^2x}-1}{2x\tg x + \frac{x^2}{\cos ^2x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin ^2x}{x^2}}{2\frac{ \sin 2x}{2x} +1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cos ^2x}-1}{2x\tg x + \frac{x^2}{\cos ^2x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin ^2x}{x^2}}{2\frac{ \sin 2x}{2x} +1}}\)
-
frej
-
wszamol
- Użytkownik
- Posty: 483
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
Granica funkcji z kotangensem
np. tutaj:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\tg ^2 x} = \frac{\tg x + x}{\tg x} \cdot \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x } \neq \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}-\frac{1}{\tg ^2 x} = \frac{\tg x + x}{\tg x} \cdot \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x } \neq \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x}}\)
-
frej
Granica funkcji z kotangensem
A gdzie na napisałem coś takiego? Czytamy ze zrozumieniem.
Ja policzyłem tylko granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x}}\) a policzyć granicę drugiego czynnika, tzn. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x +x}{\tg x}}\) chyba umiesz, nie ?
Ja policzyłem tylko granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x -x}{x^2 \tg x}}\) a policzyć granicę drugiego czynnika, tzn. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x +x}{\tg x}}\) chyba umiesz, nie ?