Interpolacja Lagrange'a

[mukai]

Witam, proszę o dalsze rozpisanie tej interpolacji, próbowałem sam liczyć jednak nie mogę uzyskać właściwego wyniku...

Węzły:

\(\displaystyle{ x _{0} = -2}\)
\(\displaystyle{ f _{0} = -3}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = -1}\)
\(\displaystyle{ f _{1} = 3}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ f _{2} = 3}\)
\(\displaystyle{ x _{3} = 2}\)
\(\displaystyle{ f _{3} = 3}\)

\(\displaystyle{ L _{0} (x)= \frac{(x-x _{1} )(x- x_{2} )(x-x _{3} )}{(x _{0}-x _{1})(x _{0}-x _{2})(x _{0}-x _{3})}= \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{-12}=- \frac{1}{12}(x ^{3}-2x ^{2}-x+1)}\)

\(\displaystyle{ L _{0} (x)= \frac{(x-x _{0} )(x- x_{2} )(x-x _{3} )}{(x _{1}-x _{0})(x _{1}-x _{2})(x _{1}-x _{3})}= \frac{(x+2)(x-1)(x-2)}{6}= \frac{1}{6}(x ^{3}-x ^{2}-4x+4)}\)

\(\displaystyle{ L _{0} (x)= \frac{(x-x _{0} )(x- x_{1} )(x-x _{3} )}{(x _{2}-x _{0})(x _{2}-x _{1})(x _{2}-x _{3})}= \frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{-6}=- \frac{1}{6}(x ^{3}-x ^{2}-4x-4)}\)

\(\displaystyle{ L _{0} (x)= \frac{(x-x _{0} )(x- x_{1} )(x-x _{2} )}{(x _{3}-x _{0})(x _{3}-x _{1})(x _{3}-x _{2})}= \frac{(x+2)(x+1)(x-1)}{12}= \frac{1}{12}(x ^{3}+2x ^{2}-x-2)}\)

Wiem, że wynik ma byc taki:

\(\displaystyle{ w(x)= \frac{1}{2}x ^{3}-x ^{2}- \frac{1}{2}x+4}\)

[N4RQ5]

To pewnie literówka więc założę że kolejne wielomiany nazywają się
\(\displaystyle{ L_0(x), L_1(x), L_2(x), L_3(x)}\)
Swoją drogą zrobiłeś dwa błędy w liczeniu tych wielomianów. Poszukaj sam.
Teraz z nich produkujemy docelowy wielomian jako kombinację powyższych
\(\displaystyle{ u(x) = f_0L_0(x) + f_1 L_1(x) + f_2 L_2(x) + f_3 L_3(x)\\
\frac{3}{12}(x ^{3}-2x ^{2}-x+2) +
\frac{3}{6}(x ^{3}-x ^{2}-4x+4) -
\frac{3}{6}(x ^{3}+x ^{2}-4x-4) +
\frac{3}{12}(x ^{3}+2x ^{2}-x-2)}\)
Pozostało to uprościć
\(\displaystyle{ \frac14(x ^{3}-2x ^{2}-x+2) +
\frac12(x ^{3}-x ^{2}-4x+4) -
\frac12(x ^{3}+x ^{2}-4x-4) +
\frac14(x ^{3}+2x ^{2}-x-2)}\)

\(\displaystyle{ \frac12x^3 - x^2 - \frac12x + 4}\)