wykazać prawdziwość wzoru de Morgana

[Kefas]

Witam. Zadanie jest następujące: wykaż prawdziwość poniższego wzoru de Morgana

\(\displaystyle{ (\bigcup_{y \in Y}^{}A _{y})' = \bigcap_{y \in Y}^{}A' _{y}}\)

Wiem, że pewnie będę musiał skorzystać z reguł postępowania związanych z zaprzeczeniem zdań, w których są kwantyfikatory. Wiem też, że będę musiał skorzystać z definicji dopełnienia zbioru A'. Nie wiem tylko jak to zapisać. Prosiłbym o początek rozwiązania, resztę spróbuję dokończyć sam i dam w razie czego do sprawdzenia. Z góry dzięki.

[N4RQ5]

Generalnie takie dowody pokazujące że jakieś zbiory A i B są równe najczęściej robi się przez napisanie \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \in B}\) i ciągu równoważności między nimi.
W tym przypadku można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ x \in \left( \bigcup_{y \in Y}^{}A _{y} \right)'
\Leftrightarrow \neg \left( x \in \bigcup_{y \in Y}^{}A _{y} \right)
\Leftrightarrow \neg \left( \exists_{y \in Y} \left( x \in A_y \right) \right) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \forall_{y \in Y} \left( x \notin A_y \right)
\Leftrightarrow \forall_{y \in Y} \left( x \in A_y' \right)
\Leftrightarrow x \in \bigcap_{y \in Y}^{}A' _{y}}\)

[Kefas]

Wszystko jasne. Prosiłbym jeszcze o sprawdzenie rozwiązania podobnego zadania:

Wykaż prawdziwość wzoru:
\(\displaystyle{ A' \cup B' = (A \cap B)'}\)

Moje rozwiązanie:

Na podstawie definicji zbiorów równych mamy udowodnić następującą równoważność:

\(\displaystyle{ \ \forall x (A \cap B)' \Leftrightarrow A' \cup B'}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ x \in (A \cap B)' \Leftrightarrow x \not\in (A \cap B) \Leftrightarrow \sim (x \in (A \cap B)) \Leftrightarrow \sim (x \in A \wedge x \in B) \Leftrightarrow \sim x \in A \vee \sim x \in B \Leftrightarrow x \in A' \vee x \in B' \Leftrightarrow x \in A' \cup B'}\)
c.n.w.

Dobrze?

[miki999]

\(\displaystyle{ \ \forall x (A \cap B)' \Leftrightarrow A' \cup B'}\)

Użycie spójników logicznych jest tu nie na miejscu. Ten kwantyfikator tutaj też zabawnie wygląda.

Dobrze?

Tak.



Pozdrawiam.

[Kefas]

Na podstawie definicji zbiorów równych mamy udowodnić następującą równoważność:
\(\displaystyle{ \ \forall x (A \cap B)' \Leftrightarrow A' \cup B'}\)

^ Czyli praktycznie mogłem sobie to darować, tak? A może zapisać w inny, poprawny sposób (?). Prosiłbym jeszcze o wyjaśnienie tej drobnej niejasności.

[miki999]

Kwantyfikator: nie wiadomo jaki jest jego zakres
Samo wykorzystanie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\): ani po jego lewej ani po prawej stronie nie mamy zdania, więc jego użycie jest niepoprawne.


Nie trzeba szpanować i można napisać: "Korzystamy z zasady ekstensjonalności" / "Korzystamy z faktu, że 2 zbiory są równe wyłącznie wtedy, gdy mają te same elementy" itp.Oczywiście można to zapisać w symbolicznej formie, ale po co.



Pozdrawiam.

[Kefas]

Faktycznie. Jeszcze raz dzięki.