Warunki umożliwiające wpisanie prostokąta w prostokąt

[lukasz93a]

Witam

Są dwa prostokąty. Jakie warunki muszą być spełnione by jeden z nich mieścił się w drugim?

Kombinuje od samego rana i co wymyślę to źle

[anna_]

Pewna nie jestem, ale może:

\(\displaystyle{ a}\) - dłuższy bok większego prostokąta
\(\displaystyle{ b}\) - krótszy bok większego prostokąta
\(\displaystyle{ d}\) - przekątna mniejszego prostokąta

Przekątna mniejszego prostokąta musi spełniać warunek
\(\displaystyle{ d \ge a}\)
i
\(\displaystyle{ d< \sqrt{a^2+b^2}}\)



edit:
Chyba jednak to za mało.
Muszą mieć wspólny środek okręgów opisanych, ale nie wiem jak to matematycznie zapisać.

[lukasz93a]

Niestety nie. Przekątna mniejszego prostokąta może być krótsza od przekątnej dłuższego, a i tak ten mniejszy się cały nie zmieści (będą wystawać rogi).

[anna_]

W końcu chodzi o to, żeby zmieścił się w środku, czy żeby jeden był wpisany w drugi?
Według mnie jak ma być wpisany, to jego wierzchołki muszą leżeć na bokach tego większego.

Dopisałam wspólny środek okręgów opisanych.

[lukasz93a]

Ma się po prostu zmieścić. Nie mogą za to być do siebie styczne tzn. wierzchołki jednego nie mogą leżeć na krawędzi drugiego. Znalazłem fajną stronkę z demonstracją tego jednak dalej nie mogę zakapować tych warunków.

[anna_]

A dlaczego niby nie mogą leżeć tak jak na moim rysunku?

to zrzut:

AU

852093f9a0d91883m.png (12.73 KiB) Przejrzano 1377 razy

[/url]

[lukasz93a]

Dobra, powiedzmy, że mogą

[anna_]

Warunek 1.
Boki prostokąta wewnętrznego muszą być nie większe niż boki prostokąta zewnętrznego. (wtedy wewnętrzny zmieści się całkowicie wewnątrz większego lub się z nim pokryje)

Warunek 2.
Jeżeli jeden z boków wewnętrznego prostokąta jest większy od dłuższego boku zewnętrznego prostokąta, to patrz post z 14:55.

Wpadnie florek177 albo piasek101 to wymyślą coś mądrzejszego

[kuba144]

To ja odświeżę
Także poszukuje rozwiązanie tego problemu

[Inkwizytor]

Jeżeli potrzebne jest to do implementacji w jakims programie to:

Na pewno górnym ograniczeniem (warunek konieczny) jest:
dłuższy bok WEW prostokąta jest krótszy od przekątnej ZEW prostokąta. co ładnie widac na zielonym rysunku zamieszczonym przez nmn

Z kolei zawsze daje się "wpisać" gdy: \(\displaystyle{ a_{wew} \le a_{zew} \wedge b_{wew} \le b_{zew}}\) bez starty ogólności możemy przyjąć że w każdym prostokącie przyjmujemy oznaczenie: \(\displaystyle{ a \le b}\)

Pozostaje kwestia "tych pomiędzy" tymi warunkami mi coś tu pachnie podobieństwem trójkątów Pomyślę nad tym

[xiikzodz]

Niech \(\displaystyle{ d_i,a_i,b_i}\) będą odpowiednio przekątną, krótszym bokiem i dłuższym bokiem prostokąta \(\displaystyle{ P_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2}\).

Oczywisty warunek konieczny wpisania prosokąta \(\displaystyle{ P_2}\) w prostokąt \(\displaystyle{ P_1}\) to

\(\displaystyle{ a_2\le a_1}\)

Jeśli dodatkowo zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{b_1}{a_1}\ge\frac{2a_2b_2+(a_2^2-b_2^2)\sqrt{d_2^2-a_1^2}}{d_2^2}}\)

to jest to również warunek wystarczający.

Po bardzo paskudnych rachunkach...

[calmosc]

Przepraszam za odgrzewanie, ale ciekawi mnie to zagadnienie i zastanawiam się, czy powyższy warunek jest faktycznie prawidłowy, a jeśli tak, to skąd się wziął, i czy są może inne równoważne mu koniunkcje mniej złożonych warunków?

[Tulio]

Też po latach zobaczyłem ten wątek.

Warunek by boki były mniejsze jest pozbawiony sensu (patrz 100,100 i 101 1 - drugi się mieści), choć faktycznie jeden z boków musi być krótszy od obu boków drugiego prostokąta. Drugi zaś z boków musi być krótszy od przekątnej. Poza tym warunek konieczny można dodać, że pole tego co ma się zmieścić musi być mniejsze od nadrzędnego.

Jednak ostatecznego warunku jeszcze też nie wymyśliłem. Może ktoś po latach? Pamiętajmy, że drugi z prostokątów w ogóle nie musi stykać pierwszego (np. 100, 100 i 10, 10 - można umieścić "gdziekolwiek")

[pesel]

... -the-other
... b_contents

[Tulio]

Twierdzenie ze strony ... b_contents jest kompletnie błędne. Według niego prostokąt \(\displaystyle{ \left( p,q\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ p \ge q}\), da się wpisać w prostokąt \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \ge b}\), wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi któryś z warunków:
\(\displaystyle{ p \le a}\) i \(\displaystyle{ q \le b}\)
lub
\(\displaystyle{ p > a}\) i \(\displaystyle{ b \ge \frac{2pqa+\left( p^2-q^2\right) \sqrt{p^2+q^2-a^2}}{p^{2}+q^{2}}}\)

Teraz prosty kontrprzykład. Rozpatrzmy Prostokąt \(\displaystyle{ P_{1}(a,b) = (8,8)}\) i \(\displaystyle{ P_{2}(p,q)=(10,10)}\) oraz drugi warunek:
\(\displaystyle{ p > a}\) - spełniony
\(\displaystyle{ 8 \ge \frac{2\cdot 10 \cdot 10 \cdot 8 + \left( 10^{2} - 10^{2}\right) \sqrt{10^{2}+10^{2}-8^{2}}}{10^{2}+10^{2}}}\)
mamy:
\(\displaystyle{ 8 \ge \frac{1600+0}{200}}\)
\(\displaystyle{ 8 \ge 8}\)
co jest spełnione. Jest to warunek konieczny i dostateczny. Wynika z tego, że kwadrat \(\displaystyle{ 10 \times 10}\) da się wpisać w kwadrat \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) co jest bez sensu (nie spełnia żadnych z czterech warunków koniecznych opisanych powyżej na tej samej stronie).

Drugie twierdzenie (ze strony ... -the-other) też jest błędne co napisałem tam w komentarzu.