[quote]Znaleźć granicę lewostronną i prawostronną funkcji \(\displaystyle{ xe^{\frac{1}{x}}}\)[/quote]
Zadanko z Krysickiego i Włodarskiego. Poszło z L'Hospitala. Sęk w tym, że jest to przed tematami z wyrażeniami nieoznaczonymi. Chodzi mi o znalezienie jakiegoś "tradycyjnego" sposobu obliczenia tej granicy. Z góry thx za wszelkie pomysły.
Aqwe
Granica funkcji z liczbą e
-
losiu99
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 19 gru 2007, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krakow
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 19 razy
Granica funkcji z liczbą e
Podstawmy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\). Z lewej granica jest trywialna, z prawej mamy \(\displaystyle{ \lim_{t\to +\infty}\frac{e^t}{t}}\). Niech \(\displaystyle{ n=\lfloor t \rfloor}\). Mamy
\(\displaystyle{ \frac{e^{n+1}}{n+1}\leq \frac{e^{n+1}}{t}\leq \frac{e^{t+2}}{t}=e^2\frac{e^t}{t}}\)
Udowodnimy, że ten ciąg zmierza do \(\displaystyle{ +\infty}\).
Mamy
\(\displaystyle{ e^n=(1+(e-1))^n > {n \choose 2}(e-1)^2 = \frac{n(n-1)}{2}(e-1)^2\\
\frac{e^n}{n}>\frac{1}{2}(n-1)(e-1)^2}\)
Pozdrawiam!
\(\displaystyle{ \frac{e^{n+1}}{n+1}\leq \frac{e^{n+1}}{t}\leq \frac{e^{t+2}}{t}=e^2\frac{e^t}{t}}\)
Udowodnimy, że ten ciąg zmierza do \(\displaystyle{ +\infty}\).
Mamy
\(\displaystyle{ e^n=(1+(e-1))^n > {n \choose 2}(e-1)^2 = \frac{n(n-1)}{2}(e-1)^2\\
\frac{e^n}{n}>\frac{1}{2}(n-1)(e-1)^2}\)
Pozdrawiam!