Rodzina zstępująca w przestrzeni ccc

[Lewap]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną z własnością ccc (każda rodzina parami rozłącznych zbiorów otwartych jest przeliczalna). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \{U_\alpha: \alpha<\omega_1\}}\) jest zstępującą rodziną zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ X}\), to istnieje \(\displaystyle{ \alpha_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \overline{U_{\alpha_0}}=\overline{U_{\alpha}}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ \alpha>\alpha_0}\).-- 4 czerwca 2010, 16:58 --Udało mi się to zrobić przy założeniu normalności przestrzeni, ale ciągle nie wiem, czy jest to prawda przy słabszych założeniach.

[przemk20]

kładziemy
\(\displaystyle{ H_{\alpha} = X_{\alpha} \backslash cl(X_{\alpha+1})}\)
zbiory rozłączne owarte.
Dla przeliczalnie wielu \(\displaystyle{ \alpha, ~ H_{\alpha}}\) są niepuste, bierzemy \(\displaystyle{ \alpha_0 < \omega_1}\) większe od tych wszystkich \(\displaystyle{ \alpha}\) . Dla \(\displaystyle{ \alpha \geq \alpha_0 }\) mamy
\(\displaystyle{ \emptyset = X_{\alpha} \backslash cl(X_{\alpha+1}) \Rightarrow
X_{\alpha} \subseteq cl(X_{\alpha+1}) \Rightarrow cl (X_{\alpha}) \subseteq cl(X_{\alpha+1}),}\) ale \(\displaystyle{ cl (X_{\alpha+1}) \subseteq cl(X_{\alpha}),}\) zatem
\(\displaystyle{ cl (X_{\alpha+1}) = cl(X_{\alpha}), ~ \alpha \geq \alpha_0}\)
a to już teza.

[Lewap]

Tak, tak, dzięki Już sam do tego w międzyczasie doszedłem, ale zapomniałem napisać