wartość średnia funkcji

[neta]

Obliczyć wartość średnią funkcji
\(\displaystyle{ f(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}z ^{n}}\)
po okręgu \(\displaystyle{ z=re ^{it},}\) \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2 \pi ,}\) zawartym wewnątrz koła zbieżności szeregu, tj. całka
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi }f \left( re ^{it} \right) dt.}\)

Proszę o pomoc.

[max]

Wystarczy zastosować wzór całkowy Cauchy'ego dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ 0}\).

[neta]

Czemu akurat dla punktu 0??

[max]

Bo wtedy dostajemy wartość tej całki.

[neta]

Wzór Całkowy Cauchy'ego, to
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{f(\xi)}{\xi - z}d\xi .}\)

Jak \(\displaystyle{ \xi=0}\), to
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{f(0)}{-z}d\xi .}\)

i jak to sie ma do całki
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{ \pi } \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}(re^{it})^{n} ??}\)

Proszę o pomoc, bo nie widzę tego

[Zordon]

niestety źle podstawiłaś do wzoru -.-, przecież \(\displaystyle{ z=0}\)

[neta]

Dobrze, w takim razie:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{f(\xi)}{\xi} d\xi.}\)

Może jeszcze można sumę wyciągnąć przed całkę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi } \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n} \int_{0}^{2 \pi } (re^{it})^{n}dt.}\)

I dalej nie ma pomysłu:(

[max]

Nie wstawiaj szeregu do całki a po wstawieniu parametryzacji naszego okręgu otrzymasz po prawej dokładnie szukaną całkę.
Po lewej jest \(\displaystyle{ f(z)}\) ale \(\displaystyle{ z = 0}\) i z postaci \(\displaystyle{ f}\) widać czym będzie \(\displaystyle{ f(0)}\).

[neta]

czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi }f(re^{it})dt= \frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{2 \pi } \frac{f(\xi
)}{\xi} d\xi}\).
Wtedy mamy
\(\displaystyle{ f(0)=a_{0}z^{0}=a_{0}.}\)

[max]

Dokładnie tak.

[neta]

Wielkie dzięki;)