funkcja różnowartościowa

[neta]

Muszę wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)}\) określona w kole \(\displaystyle{ \left| z\right| \le r}\) szeregiem \(\displaystyle{ f(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }a _{n}z ^{n}}\) zbieżnym jest jednokrotna , gdy \(\displaystyle{ \left| a _{1} \right| > \sum_{n=2}^{ \infty }n \left|a _{n} \right|r ^{n-1}.}\)

Wskazówka: Rozważyć równanie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a _{n} \left( z_{1}^{n} - z_{2}^{n}\right)=0,}\) gdzie \(\displaystyle{ z_{1}}\) i \(\displaystyle{ z_{2}}\) są punktami koła \(\displaystyle{ \left|z \right| \le r.}\)

Jednokrotna, czyli różnowartościowa.

Z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

[Zordon]

Wskazówka:
wyłącz przed ten szereg \(\displaystyle{ (z_1-z_2)}\) korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ z_1^n-z_2^n=(z_1-z_2)(z_1^{n-1}+z_1^{n-2}z_2+...+z_2^{n-1})}\).
Dalej przyjmij np. że \(\displaystyle{ |z_1| \ge |z_2|}\) i szacuj odpowiednio.

[jolka111]

Proszę o dokładne rozwiązanie. Krok po kroku. Będę bardzo wdzięczna.