Ciekawy przykład

[Click2235]

Proszę o pomoc z tym przykładem:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{10}+3 ) ^{x-8} =( \sqrt{10}-3 ) ^{12x-7}}\)

[Majeskas]

Wskazówka: \(\displaystyle{ ( \sqrt{10}-3)( \sqrt{10}+3)=1}\)

[Click2235]

Dziękuję za wskazówkę, jednak nadal nie wiem jak ją wykorzystać

-- 30 maja 2010, o 00:52 --

Doszedłem do zapisu:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{10}+3) ^{x} \cdot ( \sqrt{10}-3) ^{7} = ( \sqrt{10}+3) ^{8} \cdot ( \sqrt{10}-3) ^{12x}}\)
Ale co dalej?-- 30 maja 2010, o 01:02 --Czy wystarczy przejść do zapisu:
\(\displaystyle{ x \cdot 7=8 \cdot 12x}\)
?

[Majeskas]

Przejść, przejść, ale nie do takiego.

Zastosuj prawo działania na potęgach: \(\displaystyle{ a^b \cdot a^c=a^{b+c}}\)

Otrzymasz po obu stronach potęgi o tej samej podstawie, wtedy porównaj wykładniki i wyjdzie.

Pozdrawiam.

[ZAK]

Na pewno masz dobrze treść zadania??

Doszedłeś do zapisu:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{10}+3) ^{x} \cdot ( \sqrt{10}-3) ^{7} = ( \sqrt{10}+3) ^{8} \cdot ( \sqrt{10}-3) ^{12x}}\)

Niech \(\displaystyle{ ( \sqrt{10}+3)}\) = A

Niech \(\displaystyle{ ( \sqrt{10}-3)}\) = B

Czyli masz wtedy:

\(\displaystyle{ A^x * B^7 = A^8 * B^{12x}}\)

Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ x = 8}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ x = \frac{7}{12}}\), a więc sprzeczność. Nie ma rozwiązania.

[Nakahed90]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{10}+3=\frac{1}{\sqrt{10}-3}=(\sqrt{10}-3)^{-1}}\)

[Click2235]

Zakładam, że zadanie jest poprawne.

Zastosuj prawo działania na potęgach: \(\displaystyle{ a ^{b} \cdot a ^{c}=a ^{b+c}}\)

Co do postu Majeskas'a nie mogę zastosować tego prawa działania na potęgach, gdyż podstawy są różne.
A odnośnie postu od Nakahed90 jeżeli zastosuję twoje przekształcenie rozwiązanie będzie równe \(\displaystyle{ x= \frac{13}{15}}\)
Tylko jak do tego doszedłeś? Czy to na pewno jest poprawne?

Dzięki za liczne odpowiedzi

[ZAK]

Nakahed90, heh, dobre, a byłem pewien inaczej

Click2235, wynik chyba to \(\displaystyle{ x= \frac{15}{13}}\)

[Click2235]

Tak... \(\displaystyle{ \frac{15}{13}}\)
Moje głupie przeoczenie

Przekształcenie Nakahed90 jest świetne, tylko jak on to wywnioskował? Nie potrafię tego zrozumieć. Nakahed90 mógłbyś opisać z czego skorzystałeś?

[ZAK]

Click2235, po prostu zauważył dobry wzrok ma

[JakimPL]

To się stosuje do każdej liczby postaci \(\displaystyle{ \sqrt{a}+b}\), gdzie \(\displaystyle{ |a - b^2| =1}\).

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{10}-3}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}\cdot \frac{(\sqrt{10}+3)}{\sqrt{10}+3}=\frac{\sqrt{10}+3}{10-3^2}=\sqrt{10}+3}\)
Zwykłe usunięcie niewymierności z mianownika.