Figury wpisane w okrąg Twierdzenie Talesa itd

[Zedd]

Cześć może mi ktoś podrzucić rozwiązania takich zadań bądź tez przynajmniej podpowiedzi:
1)Na okręgu obrano trzy różne punkty A B C taki, że odcinek AB jest średnicą okręgu. Styczna do okręgu w punkcie B i sieczna AC przecinają się w punkcie M Wykaż że styczna do okręgu w punkcie C dzieli odcinek BM na połowy
2)W równoległoboku ABCD punkt E jest środkiem boku BC, zaś punkt F jest środkiem boku CD. Wykaż, że odcinki AE i AF dzielą przekątna w równoległoboku na trzy równe odcinki.
3)Wykaż, że jeżeli punkty D i E są spodkami wysokości trójkąta ostrokątnego ABC poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A i B, to trójkąty DEC i ABC są podobne.
4)W trapezie prostokątnym ABCD o katach prostych przy wierzchołkach B i C zakreślono okrąg ze środka O boku AD przecinający bok BC w punktach M i N. Wykaż, że \(\displaystyle{ BM \cdot MC=AC \cdot CD}\)
5)Prosta przechodząca przez wierzchołek A kwadratu ABCD nie posiadająca z tym kwadratem innych punktów wspólnych przecina prostą BC w punkcie M, zaś prostą CD w punkcie N. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{AM ^{2} } + \frac{1}{AN ^{2} } = \frac{1}{AB ^{2} }}\)
Wdzięczny będe za podpowiedź choćby do jednego zadańka.

[anna_]

1.

AU

b4e1ce5ab3e31813m.png (14.65 KiB) Przejrzano 185 razy

[/url]

Kąty zaznaczone przy wierzchołkach A i B są równe - patrz

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Kąt_dopisany

Trójkąty OBD i ODC są przystające
\(\displaystyle{ |DB|=|DC|=y}\)
czyli trójkąt BDC jest równoramienny
\(\displaystyle{ | \sphericalangle CBD|=| \sphericalangle BCD|=\alpha}\)

Trójkąt ABM jest prostokątny więc \(\displaystyle{ | \sphericalangle AMB|=90^o-\alpha}\)

\(\displaystyle{ | \sphericalangle ACB|=90^o}\) - kąt wpisany oparty na półokręgu

\(\displaystyle{ | \sphericalangle DCM|=180^o-(90^o+\alpha)=90^o-\alpha}\)
czyli trójkąt CDM jest równoramienny.
\(\displaystyle{ |DC|=|DM|}\)
\(\displaystyle{ y=x}\)

zadanie 2 patrz PW

zadanie 3
post533152.htm
patrz post Sherlocka Napisane: 25 wrz 2009, o 23:43

Zadanie 4
Sprawdź czy dobrze przepisałeś równość, bo coś mi nie pasuje

[Zedd]

Jesteś wielka;D W 4 dobrze przepisałem ale może być literówka w zbiorze.

[anna_]

Mogłbyś zrobić rysunek do tego 4, zmierzyć odcinki i sprawdzić czy równość jest prawdziwa?

[Zedd]

Masz racje po wymnożeniu się nie zgadza i to grubo, trudno to zdanie sobie odpuszcze. Jeszcze tylko 5 wymyśle.

[anna_]

5.

AU

ec09bfa7449882d8m.png (2.34 KiB) Przejrzano 185 razy

[/url]

Z Talesa
\(\displaystyle{ \frac{y}{c} = \frac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{c^2-a^2} }{c} = \frac{a}{b} / ()^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{c^2-a^2}{c^2} = \frac{a^2}{b^2}}\)

\(\displaystyle{ 1-\frac{a^2}{c^2} = \frac{a^2}{b^2} / :a^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2} -\frac{1}{c^2} = \frac{1}{b^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2} =\frac{1}{c^2} +\frac{1}{b^2}}\)

[Zedd]

Jeszcze raz wielkie dzięki.