całka z pierwiastkiem i długość łuku

[mieczyk100]

Mam do rozwiązania taką całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}}\)\(\displaystyle{ \frac{dx}{ \sqrt{2+x-x^{2}}}}\)


Jakim sposobme można rozwiązać taką całkę?

Mam jeszcze inne zadanie z całek:
Oblicz długość łuku lini:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=e^{3t}sint \\ y=e^{3t}cost \end{cases}}\)
Dla \(\displaystyle{ t \in}\)<0;1>

[miodzio1988]

2 . wzor
1. do arcusa

[mieczyk100]

a mógłbyś trochę jaśniej, bo nie bardzo wiem jak do arcusa.
a jeśli chodzi o wzór to zakładam że chodzi o wzór na długość łuku w postaci parametrycznej, dobra to ja ten wzór sobie znajdę.
wyjaśnij mi tylko tą pierwszą całkę.
z góry dzięki za pomoc.

[miodzio1988]

Funkcje kwadratowa w mianowniku doprowadz do odpowiedniej postaci

[mieczyk100]

do takiej postaci:?
\(\displaystyle{ \frac{dx}{ \sqrt{-(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4} } }}\)

Bo jeśli tak to teraz mógłbym zrobić podstawienie za \(\displaystyle{ x-\frac{1}{2}}\)

[Eszi]

Tak, do tej postaci.

[miodzio1988]

No brawo . Tylko jeszcze ta stala nam nie pasuje.

[mieczyk100]

jaka stała? chodzi ci o C? bo jeśli tak, to nie ma co się nią przejmować bo i tak nie jest mi do niczego potrzebna

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \frac{7}{4}}\)

[mieczyk100]

to znaczy te 7/4 to ja wykorzystam do wzoru na arcsin. najwyżej będę musiał pierwiastkować te 7/4, ale jakoś to przeboleje. chyba że znasz inny sposób żeby to lepiej wyglądało

-- 25 maja 2010, 22:39 --

a za (x - 1/2) podsawię t-- 25 maja 2010, 23:09 --no rzeczywiście pomyliłem się. nie 7/4 ale 9/4 . teraz już wszystko jest dobrze.
dzięki za pomoc.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int{\frac{dx}{ \sqrt{2+x-x^{2}}}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(2-x \right) \left(1+x \right) }= \left(1+x \right)t}\)

\(\displaystyle{ \left(2-x \right) \left(1+x \right) =\left(1+x \right)^2t^2}\)

\(\displaystyle{ 2-x=t^2+xt^2}\)

\(\displaystyle{ 2-t^2=x \left(t^2+1 \right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{2-t^2}{1+t^2}=-1+ \frac{3}{1+t^2}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x =3 \cdot \left( -1\right) \cdot \left(1+ t^2\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{-6t}{ \left(1+t^2 \right) ^2} \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2+x-x^2}= \frac{3t}{1+t^2}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{1+t^2}{3t} \cdot \frac{ \left(-6t \right) }{ \left(1+t^2\right) ^2} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =-2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)

\(\displaystyle{ =-2\arctan{t}}\)

\(\displaystyle{ =-2\arctan{ \left( \frac{ \sqrt{2+x-x^2} }{1+x} \right) }+C}\)