Witam,
Probuje policzyc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}}\)
Przeksztalcam tak, aby moc skorzystac z kryterium Leibniza (dla szeregu naprzemiennego):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{-2n-1}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{-2n+1}=0}\)
IMO zbiezny na mocy kryterium Leibniza. Zgadza sie?
Zbadac zbieznosc szeregu liczbowego
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Zbadac zbieznosc szeregu liczbowego
Nie rozumiem tego przekształcenia.Tak czy siak, musisz jeszcze sprawdzić, czy ciąg modułów jest malejący. Poza tym wypadałoby określić rodzaj zbieżności - bezwzględna czy warunkowa (czy może szereg w ogóle jest rozbieżny).
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
-
asmo
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 17 paź 2009, o 13:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3miasto
- Podziękował: 41 razy
Zbadac zbieznosc szeregu liczbowego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}(\frac{-1}{-1})\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{-2n-1}}\)
Wydaje mi sie, ze tak mozna bo w sumie mnoze przez 1.
Powyzej sie pomylilem nie piszac minusa obok jedynki w mianowniku (przy granicy).
Teraz zastanawiam sie nad zbieznoscia (to trzeba bylo zrobic na poczatku).
Czy sprawdzenie czy ciag modulow jest malejacy jest rownowazne z tym, ze granica modulu dazy do zera (warunek konieczny)? Poniewaz w tym przypadku trudno mi sprawdzic granice rozumiem, ze dlatego mam sprawdzic ciag modulow, wiec ciag na pewno nie bedzie bezwzglednie zbiezny.
Sprawdzilem i ciag modulow zbiega do zera.
Poniewaz zbiega do zera poprzednie przeksztalcenie nie ma sensu, bo dla tej postaci nie jest spelniony warunek konieczny zbieznosci. A jak zrobie modul to wychodzi szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}}\)
Licze calke:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}ln|2x+1|=\frac{1}{2}ln|\infty -1|=\infty}\)
Ostateczna odpowiedz: szereg rozbiezny.
Wydaje mi sie, ze tak mozna bo w sumie mnoze przez 1.
Powyzej sie pomylilem nie piszac minusa obok jedynki w mianowniku (przy granicy).
Teraz zastanawiam sie nad zbieznoscia (to trzeba bylo zrobic na poczatku).
Czy sprawdzenie czy ciag modulow jest malejacy jest rownowazne z tym, ze granica modulu dazy do zera (warunek konieczny)? Poniewaz w tym przypadku trudno mi sprawdzic granice rozumiem, ze dlatego mam sprawdzic ciag modulow, wiec ciag na pewno nie bedzie bezwzglednie zbiezny.
Sprawdzilem i ciag modulow zbiega do zera.
Poniewaz zbiega do zera poprzednie przeksztalcenie nie ma sensu, bo dla tej postaci nie jest spelniony warunek konieczny zbieznosci. A jak zrobie modul to wychodzi szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1}}\)
Licze calke:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}ln|2x+1|=\frac{1}{2}ln|\infty -1|=\infty}\)
Ostateczna odpowiedz: szereg rozbiezny.
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Zbadac zbieznosc szeregu liczbowego
Teoria Ci się pomerdała całkiem
Definicja szeregu naprzemiennego: \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest szeregiem naprzemiennym, gdy
1) wyrazy szeregu są na przemian dodatnie i ujemne
2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n|=0}\)
3) ciąg \(\displaystyle{ (|a_n|)_{n\in\mathbb{N}}\) jest nierosnący (od pewnego \(\displaystyle{ n}\) począwszy)
W związku z tym, co jest w pkt 1) definicji, zwykle zapisuje się szereg w postaci \(\displaystyle{ \sum (-1)^na_n}\) lub \(\displaystyle{ \sum (-1)^{n+1}a_n}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n>0}\).
Przemyśl jeszcze raz swoje wnioski.
Pozdrawiam.
PS W niektórych książkach szeregiem naprzemiennym nazywa się szereg spełniający tylko warunek 1). Wówczas używa się warunku 2 i 3 jako dodatkowych założeń w kryterium Leibniza.
Definicja szeregu naprzemiennego: \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest szeregiem naprzemiennym, gdy
1) wyrazy szeregu są na przemian dodatnie i ujemne
2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n|=0}\)
3) ciąg \(\displaystyle{ (|a_n|)_{n\in\mathbb{N}}\) jest nierosnący (od pewnego \(\displaystyle{ n}\) począwszy)
W związku z tym, co jest w pkt 1) definicji, zwykle zapisuje się szereg w postaci \(\displaystyle{ \sum (-1)^na_n}\) lub \(\displaystyle{ \sum (-1)^{n+1}a_n}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n>0}\).
Przemyśl jeszcze raz swoje wnioski.
Pozdrawiam.
PS W niektórych książkach szeregiem naprzemiennym nazywa się szereg spełniający tylko warunek 1). Wówczas używa się warunku 2 i 3 jako dodatkowych założeń w kryterium Leibniza.