W zasadzie prosze o sprawdzenie toku rozumowania, zadania z egzaminow, niestety nie udostepnili odpowiedzi.
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{n^2+2}}\)
Czy jest to szereg naprzemienny? Jesli tak jest on zbiezny z Kryterium Leibniza. Problem w tym, ze zamiast (-1)^n jest do n+1.
EDIT: Przeksztalcam sobie do naprzemiennego mnozac licznik i mianownik przez -1. Otrzymuje:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n+1}{-n^2-2}}\)
Z kryterium Leibniza szereg zbiezny.
Teraz sprawdzam czy jest to zbieznosc wzgledna czy bezwzgledna.
Pierwszy pomysl to kryterium porownawcze:
Tworze nierownosc:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+2} \le \frac{2n+1}{n^2}}\)
Nastepnie badam zbieznosc szregu po prawej stronie nierownosci:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}({\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})}\)
Rozstrzygam to z kryterium calkowego.
\(\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}{(2x^{-1}+x^{-2})dx=-1}}\)
Poniewaz szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2}}\) jest zbiezny to rowniez zniezny jest szereg po lewej stronie nierownosci.
Ostateczna odpowiedz: zbieznosc bezwzgledna.
Badam wiec wartosc bezwzgledna, czyli szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n^2+2}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2e^n}{(2n)!}}\)
Zbieznosc bezwzgledna na mocy kryterium d'Alamberta (wyslzo mi e/4).
Zbadac zbieznosc szeregow i okreslic jej rodzaj.
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4329
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Zbadac zbieznosc szeregow i okreslic jej rodzaj.
Te kryterium całkowe coś Ci nie wyszło.
\(\displaystyle{ \int x^{-1}dx=\ln x}\)
Weź porównaj z czymś mniejszym:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+1} \ge \frac{2n+1}{(2n+1)^2}=\frac{1}{2n+1} \ge \frac{1}{3n}}\)
\(\displaystyle{ \int x^{-1}dx=\ln x}\)
Weź porównaj z czymś mniejszym:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+1} \ge \frac{2n+1}{(2n+1)^2}=\frac{1}{2n+1} \ge \frac{1}{3n}}\)
-
knrt
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
Zbadac zbieznosc szeregow i okreslic jej rodzaj.
Problem między \(\displaystyle{ (-1)^n}\) a \(\displaystyle{ (-1)^{n+1}}\) jest całkowicie techniczny. Przecież w istocie chodzi o to, by wyrazy szeregu były na przemian przeciwnych znaków.
Technicznie sprawę można załatwić następująco:
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{ \infty }(-1)^{n+1}a_n= \sum_{n=k+1}^{ \infty } (-1)^n a_{n-1}}\)
Ewentualnie jeszcze prościej
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{ \infty }(-1)^{n+1}a_n= -\left(\sum_{n=k}^{ \infty } (-1)^n a_{n}\right)}\)
i pytanie teraz dotyczy zbieżności szeregu w nawiasie
Zauważ, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}({\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})}\) jest rozbieżny, bo mamy do czynienia z szeregiem o wyrazach nieujemnych oraz \(\displaystyle{ {\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}>\frac{1}{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).-- 27 maja 2010, o 13:10 --Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+2}}\) powinieneś szacować w przeciwną stronę, bo \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+2} \sim \frac{2}{n}}\)
Technicznie sprawę można załatwić następująco:
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{ \infty }(-1)^{n+1}a_n= \sum_{n=k+1}^{ \infty } (-1)^n a_{n-1}}\)
Ewentualnie jeszcze prościej
\(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{ \infty }(-1)^{n+1}a_n= -\left(\sum_{n=k}^{ \infty } (-1)^n a_{n}\right)}\)
i pytanie teraz dotyczy zbieżności szeregu w nawiasie
Zauważ, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}({\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}})}\) jest rozbieżny, bo mamy do czynienia z szeregiem o wyrazach nieujemnych oraz \(\displaystyle{ {\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}>\frac{1}{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).-- 27 maja 2010, o 13:10 --Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+2}}\) powinieneś szacować w przeciwną stronę, bo \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n^2+2} \sim \frac{2}{n}}\)