Jak interpretować wyznaczniki hesjanu, przy liczeniu ekstremów funkcji 3 zmiennych??
Chodzi mi owszystkie możliwe kombinacje np:
W1 >0, W20
W10, W3>0
itd. gdzie Wk to wyznacznik hesjanu stopnia k.
Kiedy mamy do czynienia z minimum, kiedy z maksimum, a kiedy nie ma ekstremum??
Bardzo proszę o szybką odpowiedź.
Ekstrema funkcji 3 zmiennych
-
Pikaczu
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 2 paź 2004, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakau
- Pomógł: 5 razy
Ekstrema funkcji 3 zmiennych
Jeśli macierz Hessego w jakimś punkcie jest określona dodatnio, to jest to warunek wystarczający istnienia w tym punkcie minimum lokalnego.
Jeśli macierz Hessego w jakimś punkcie jest określona ujemnie, to jest to warunek wystarczający istnienia w tym punkcie maksimum lokalnego.
Macierz A jest dodatnio określona gdy dla każdego wektora \(\displaystyle{ x\neq 0}\) odpowiedniego wymiaru zaczodzi: \(\displaystyle{ xAx^T>0}\) oraz ulemnie określona gdy \(\displaystyle{ xAx^T0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\) a ujemnie określona gdy \(\displaystyle{ (-1)^{i}A_i>0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\), gdzie \(\displaystyle{ A_i}\) są minorami wiodacymi macierzy A
Jeśli macierz Hessego w jakimś punkcie jest określona ujemnie, to jest to warunek wystarczający istnienia w tym punkcie maksimum lokalnego.
Macierz A jest dodatnio określona gdy dla każdego wektora \(\displaystyle{ x\neq 0}\) odpowiedniego wymiaru zaczodzi: \(\displaystyle{ xAx^T>0}\) oraz ulemnie określona gdy \(\displaystyle{ xAx^T0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\) a ujemnie określona gdy \(\displaystyle{ (-1)^{i}A_i>0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\), gdzie \(\displaystyle{ A_i}\) są minorami wiodacymi macierzy A
-
Pikaczu
- Użytkownik
- Posty: 114
- Rejestracja: 2 paź 2004, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krakau
- Pomógł: 5 razy
Ekstrema funkcji 3 zmiennych
Tylko uwazaj, bo kryterium Sylwestera wprawdzie mówi równiez, ze jeśli np.
\(\displaystyle{ A_1>0,\; A_2>0,\; A_30,\; A_2=0,\; A_3>0}\), to wcale nie znaczy, że tam nie może być ekstremum (w tym przypadku minimum). I niektóre przykłady są właśnie tak dobrane, żeby ne mozna było z tego skorzystac. Wtedy niestety trzeba badać określoność formy kwadratowej \(\displaystyle{ xAx^T}\).
\(\displaystyle{ A_1>0,\; A_2>0,\; A_30,\; A_2=0,\; A_3>0}\), to wcale nie znaczy, że tam nie może być ekstremum (w tym przypadku minimum). I niektóre przykłady są właśnie tak dobrane, żeby ne mozna było z tego skorzystac. Wtedy niestety trzeba badać określoność formy kwadratowej \(\displaystyle{ xAx^T}\).