Hej, mam problem z następującą granicą:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt[n]{ e^{i} }}\)
Może macie jakieś wskazówki?
Obliczyć granicę ciągu
-
Kamil_B
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
Obliczyć granicę ciągu
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ e^{i} }=e^{\frac{i}{n}}}\) i teraz zauważ, że ta granica jest równa pewnej całce oznaczonej
-
knrt
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
Obliczyć granicę ciągu
Mamy do czynienia z sumą ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt[n]{ e^{i} }=\\
=\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n}\cdot\big(e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}\big)=\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n}\cdot e^{\frac{1}{n}}\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt[n]{ e^{i} }=\\
=\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n}\cdot\big(e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+...+e^{\frac{n}{n}}\big)=\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n}\cdot e^{\frac{1}{n}}\frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}}}\)