2 r.różniczkowe-

[Tygryska_Anna]

Witam ja znowu z prosba chodzi mi o rozwiazanie dwóch zadan bo nie moge mnie wyjsc takie wyniki jak mam podane
1.\(\displaystyle{ y"+4y'+4y=(e^{-2x})*ln|x|}\)
odp. y=(e^(-2xy))*((x^{2}*ln|x|)/2)-3/4x^{2}+C1+C2(x)
2.\(\displaystyle{ y"+y=tgx}\)
odp. y=C1cosx+C2sinx-cosxlntg( (Π /4)+x/2)

[abrasax]

przykład 1

1. równanie jednorodne rozwiązujemy korzystając z równania charakterystycznego postaci:
\(\displaystyle{ t^2+4t+4=0}\)
z tego t=-2
rozwiąznie równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ y_1=e^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ y_2=xe^{-2x}}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}}\)

2. równanie niejednorodne - metoda uzmienniania stałych, należy rozwiązać układ równań postaci:
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l}C_1'y_1+C_2'y_2=0 \\ C_2'y_1'+C_2'y_2'=e^{-2x}ln|x| \end{array}}\)
po podstawieniu i uproszczeniu zostaje
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l}C_1'+C_2'x=0 \\ -2C_1'+(1-2x)C_2'=ln|x| \end{array}}\)
po obliczeniach
\(\displaystyle{ C_1=xln|x|+x+A}\)
\(\displaystyle{ C_2=-\frac{x^2}{2}ln|x|-\frac{x^2}{4}+B}\)

na koniec wyznaczone \(\displaystyle{ C_1, \ C_2}\) wstawiamy do
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}}\)

przykład 2 - analogicznie

[Tygryska_Anna]

Dziekuje ) Pani jest wielka