Całka podwójna, objętość obszaru ogranic....

[JarTSW]

Witam, mam problem z takim zadaniem:
Oblicz objętość obszaru, ograniczonymi powierzchniami:
\(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ y^2+x^2=8x}\), \(\displaystyle{ x^2+y^2=4z^2}\)

Proszę o pomoc.

[veldrim]

Co konkretnie sprawia Ci trudność? Wyznaczenie obszaru całkowania?

[JarTSW]

Tak, rysuję sobie to w XYZ, ale jakoś nic nie widzę...

[veldrim]

Funkcja ograniczona jest z góry płaszczyzną \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4z^{2}}\) i okręgiem o promieniu 4 i środku w punkcie (4,0). Widać to z rysunku.

Przejdź na współrzędne kartezjańskie. Pamiętaj o jakobianie przekształcenia.

Jest to pierwsza i czwarta ćwiartka układu współrzędnych stąd \(\displaystyle{ \theta \in [- \frac{pi}{2}, \frac{pi}{2}]}\).
Zaś r:
Podstaw do równania okręgu w miejsce x, y, ale nic nie przenoś w tej równości. Za x=rcos heta i y=rsin heta
\(\displaystyle{ r^{2}=8r*cos\theta}\)
\(\displaystyle{ r=8cos\theta}\)
Czyli \(\displaystyle{ r \in [0,8cos\theta]}\)

To moje granice, ale najlepiej jeżeli znajdzie się ktoś bardziej kompetentny i sprawdzi czy dobrze je dobrałem. Ja się dopiero tego uczę. Jeżeli jednak nikt inny ci nie pomoże to użyj tych. A jak znasz odpowiedź to sprawdź czy są dobre i powiedz mi czy jest ok czy nie. To dla mnie bardzo ważne.

Ale tak jak wspomniałem jestem na 75% pewny wyznaczonych przeze mnie granic całkowania.

[JarTSW]

No właśnie nie mam niestety odpowiedzi, sam się tego uczę też ...
A mógłbyś dokładniej wyjaśnić skąd to:

Jest to pierwsza i czwarta ćwiartka układu współrzędnych stąd \(\displaystyle{ \theta \in [- \frac{pi}{2}, \frac{pi}{2}].}\)

[veldrim]

Zauważ, że prosta, która jest styczna do tej płaszczyzny i przechodzi przez środek układu współrzędnych to prosta o równaniu x=0.; Jest tam kąt półpełny od \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Rozumiesz?

[JarTSW]

Teraz tak, thx.